אינטגרציה בחלקים
הגדרה
אינטגרציה בחלקים הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:
הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:
הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור f וg בעלות נגזרות רציפות.
(אחרת, אמנם יש קדומה ל, אבל לא בהכרח ל
ו
בנפרד.)
דוגמאות
א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.
נסמן
ולכן
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים
.
ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעיה.
נסמן
לכן
ולכן
ומכאן יוצא
.
ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע כנגזרת של הפונקציה
ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.
נסמן
ולכן
נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:
ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת
כאשר את האינטגרל האחרון נלמד בשיטת ההצבה.