פונקציה רציפה במידה שווה

פונקציה ממשית היא רציפה במידה שווה בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x,y\in I }[/math] אם [math]\displaystyle{ |x-y|\lt \delta }[/math] אז [math]\displaystyle{ \Big|f(x)-f(y)\Big|\lt \epsilon }[/math] . תכונה זו גוררת רציפות של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך-כלל היא חזקה יותר.

משפט

פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו קטע

הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת נגזרת חסומה בקטע [math]\displaystyle{ A }[/math] . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות [math]\displaystyle{ x_n,y_n }[/math] בקטע המקיימות

[math]\displaystyle{ |x_n-y_n|\to 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\to 0 }[/math]

לכן קיימת תת-סדרה כך ש-

[math]\displaystyle{ \Big|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big|\to a\ne 0 }[/math]

(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה [math]\displaystyle{ 0 }[/math] סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).

נובע מכאן כי הסדרה

[math]\displaystyle{ \frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}} }[/math]

אינה חסומה.

אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות [math]\displaystyle{ c_{n_k} }[/math] בין [math]\displaystyle{ x_{n_k},y_{n_k} }[/math] כך ש-

[math]\displaystyle{ f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}} }[/math]

ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.