הפולינום האופייני
הגדרה
תהי A מטריצה ריבועית, אזי הפולינום האופייני שלה מוגדר להיות:
- [math]\displaystyle{ f_A(x):=\Big|xI-A\Big| }[/math]
קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה x.
קשר בין פולינום אופייני לע"ע
כל התנאים הבאים שקולים:
- x הינו ע"ע של המטריצה A
לפי ההגדרה:
- קיים [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ Av=xv }[/math]
מעבר אגפים:
- קיים [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ Av-xv=0 }[/math]
(דיסטריביוטיביות של כפל מטריצות:)
- קיים [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ (A-xI)v=0 }[/math]
לפי ההגדרה:
- קיים פתרון לא טריוויאלי במרחב האפס [math]\displaystyle{ N(A-xI) }[/math]
משפט מלינארית 1:
- המטריצה [math]\displaystyle{ A-xI }[/math] אינה הפיכה
משפט מלינארית 1:
- [math]\displaystyle{ |A-xI|=0 }[/math]
לפי הגדרה:
- [math]\displaystyle{ f_A(x)=0 }[/math]
משפט
x הינו ע"ע של A אם"ם x הינו שורש של הפולינום האופייני של A