מתמטיקה בדידה - ארז שיינר
חומר עזר
סרטוני ותקציר הרצאות
פרק 1 - מבוא ללוגיקה מתמטית
פסוקים, קשרים, כמתים, פרדיקטים
תרגול
אינדוקציה
תרגול
פרק 2 - מבוא לתורת הקבוצות
קבוצות ופעולות על קבוצות
שיטות הוכחה בסיסיות
איחוד וחיתוך כלליים
קבוצת החזקה
תרגול
פרק 3 - יחסים
מכפלה קרטזית ויחסים
יחסי שקילות
תרגול
יחסי סדר
איברים מינימליים ומקסימליים, וחסמים
תרגול
פרק 4 - פונקציות
הגדרת פונקציות
חח"ע ועל, תמונה ותמונה הפוכה
הרכבת פונקציות, פונקציות הפיכות
פונקציה מוגדרת היטב
תרגול
פרק 5 - עוצמות
מבוא
השוואת עוצמות
משפט קנטור
- [math]\displaystyle{ |A|\lt |P(A)| }[/math]
קבוצות בנות מנייה
חשבון עוצמות (אריתמטיקה של עוצמות)
חיבור עוצמות
כפל עוצמות
חזקת עוצמות
השוואת חשבון עוצמות
משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין
- אם [math]\displaystyle{ |A|\leq |B| }[/math] וגם [math]\displaystyle{ |B|\leq |A| }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A\sim B }[/math]
למת נקודת השבת
- תהי פונקציה עולה [math]\displaystyle{ h:P(A)\to P(A) }[/math] כלומר המקיימת לכל [math]\displaystyle{ X_1\subseteq X_2 }[/math] כי [math]\displaystyle{ h(X_1)\subseteq h(X_2) }[/math]
- אזי קיימת נק' שבת [math]\displaystyle{ K\subseteq A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ h(K)=K }[/math].
הוכחת המשפט
איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה
אקסיומת הבחירה ועקרון המקסימום של האוסדורף
אקסיומת הבחירה
עקרון המקסימום של האוסדורף
אלף אפס היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר
(בהנחת עקרון המקסימום של האוסדורף)
נושאים שעוד לא נערכו
- עוצמת תתי קטעים בממשיים
- אריתמטיקה של עוצמות
- קבוצת החזקה, היא חזקה של 2.
- חוקי חזקות
- הקשר בין אלף אפס לאלף
- סכום וכפל עוצמות הוא המקסימום
- תמיד ניתן להשוות עוצמות