מתמטיקה בדידה - ארז שיינר
חומר עזר
סרטוני ותקציר הרצאות
פרק 1 - מבוא ללוגיקה מתמטית
פסוקים, קשרים, כמתים, פרדיקטים
תרגול
אינדוקציה
תרגול
פרק 2 - מבוא לתורת הקבוצות
קבוצות ופעולות על קבוצות
שיטות הוכחה בסיסיות
איחוד וחיתוך כלליים
קבוצת החזקה
תרגול
פרק 3 - יחסים
מכפלה קרטזית ויחסים
יחסי שקילות
תרגול
יחסי סדר
איברים מינימליים ומקסימליים, וחסמים
תרגול
פרק 4 - פונקציות
הגדרת פונקציות
חח"ע ועל, תמונה ותמונה הפוכה
הרכבת פונקציות, פונקציות הפיכות
פונקציה מוגדרת היטב
תרגול
פרק 5 - עוצמות
מבוא
השוואת עוצמות
משפט קנטור
- [math]\displaystyle{ |A|\lt |P(A)| }[/math]
קבוצות בנות מנייה
חשבון עוצמות (אריתמטיקה של עוצמות)
חיבור עוצמות
כפל עוצמות
חזקת עוצמות
- חוקי חזקות
עוצמת קבוצת החזקה
השוואת חשבון עוצמות
משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין
- אם [math]\displaystyle{ |A|\leq |B| }[/math] וגם [math]\displaystyle{ |B|\leq |A| }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A\sim B }[/math]
למת נקודת השבת
- תהי פונקציה עולה [math]\displaystyle{ h:P(A)\to P(A) }[/math] כלומר המקיימת לכל [math]\displaystyle{ X_1\subseteq X_2 }[/math] כי [math]\displaystyle{ h(X_1)\subseteq h(X_2) }[/math]
- אזי קיימת נק' שבת [math]\displaystyle{ K\subseteq A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ h(K)=K }[/math].
הוכחת המשפט
עוצמות קטעים ממשיים
איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה
אקסיומת הבחירה ועקרון המקסימום של האוסדורף
אקסיומת הבחירה
- תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\neq\emptyset }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |A|\leq |B| }[/math] אם ורק אם קיימת [math]\displaystyle{ g:B\to A }[/math] על.
עקרון המקסימום של האוסדורף
אלף אפס היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר
(בהנחת עקרון המקסימום של האוסדורף)
הקשר בין עוצמת הטבעיים לעוצמת הממשיים
השוואת עוצמות
סכום ומכפלה של עוצמות אינסופיות שווה לגדולה מבין העוצמות