הקדמה

אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה [math]\displaystyle{ x^2=2 }[/math] (שורש שתיים).

הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math] לראשית הצירים [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math]?

האם ייתכן שהפרבולה [math]\displaystyle{ y=x^2-2 }[/math] עולה מהנקודה [math]\displaystyle{ (0,-2) }[/math] אל הנקודה [math]\displaystyle{ (2,2) }[/math] בלי לחתוך את ציר האיקס?

כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.

כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה [math]\displaystyle{ y=x^2-2 }[/math] עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?

(נבנה באמצעות גאוגברה.)

ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.

כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה [math]\displaystyle{ \left\{x\in\mathbb{Q}| x\lt 0 \vee x^2 \lt 2\right\} }[/math], זו הקרן באיור.

הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.

חתכי דדקינד

הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb{Q} }[/math] המקיימת:
- [math]\displaystyle{ A\neq\emptyset }[/math]
- [math]\displaystyle{ A }[/math] חסומה מלעיל.
- לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb{Q} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ m\notin A }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ m }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math]

הערות ותזכורות:
- חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
- בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה.
- אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.

הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.

חיבור חתכי דדקינד

יהיו שתי חתכים [math]\displaystyle{ A,B }[/math], נגדיר את החיבור:
- [math]\displaystyle{ A+B=\left\{a+b|a\in A,b\in B\right\} }[/math]

החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
- כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
- סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
- יהי [math]\displaystyle{ a+b\in A+B }[/math], כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים [math]\displaystyle{ a\lt c\in A }[/math] וכן [math]\displaystyle{ b\lt d\in B }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ a+b\lt c+d\in A+B }[/math] ו[math]\displaystyle{ a+b }[/math] אינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A+B }[/math]
- יהי [math]\displaystyle{ m\in\mathbb{Q} }[/math] שאינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A+B }[/math], לכן קיימים [math]\displaystyle{ m\lt a+b\in A+B }[/math]. כעת [math]\displaystyle{ m-a\lt b }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ m-a }[/math] אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ [math]\displaystyle{ m=a+(m-a)\in A+B }[/math].

חתך האפס

נגדיר את חתך האפס, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לחיבור.
[math]\displaystyle{ 0_D=\left\{x\in\mathbb{Q}|x\lt 0\right\} }[/math]

נגדי

יהי חתך A, נגדיר את הנגדי:
- [math]\displaystyle{ -A=\left\{x\in\mathbb{Q}|\exists m\notin A:x\lt -m\right\} }[/math]

לדוגמא [math]\displaystyle{ -\left\{x\in\mathbb{Q}|x\lt 2\right\}=\left\{x\in\mathbb{Q}|x\lt -2\right\} }[/math]

הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו:
- הנגדי לא ריק:
  - כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן [math]\displaystyle{ -A\neq\emptyset }[/math]
- הנגדי חסום מלעיל:
  - יהי [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] לכן לכל [math]\displaystyle{ m\notin A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\lt m }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ -m\lt -a }[/math]
  - לכל [math]\displaystyle{ x\in -A }[/math] קיים [math]\displaystyle{ m\notin A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x\lt -m }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x\lt -a }[/math]
  - בעצם הנגדי של כל איבר בA הוא חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ -A }[/math].
- כל איבר בנגדי אינו חסם מלעיל:
  - לכל איבר בנגדי [math]\displaystyle{ x\lt -m }[/math] לכן אמצע הקטע בין [math]\displaystyle{ x,-m }[/math] גדול מ[math]\displaystyle{ x }[/math] וקטן מ[math]\displaystyle{ -m }[/math] ולכן שייך לנגדי [math]\displaystyle{ -A }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x }[/math] אינו חסם מלעיל.
- אם איבר אינו חסם מלעיל, הוא שייך לנגדי:
  - נניח [math]\displaystyle{ y }[/math] אינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ -A }[/math] לכן קיים [math]\displaystyle{ y\lt x\in -A }[/math] ולכן קיים [math]\displaystyle{ m\notin A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ y\lt x\lt -m }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ y\in -A }[/math]

יחס סדר

יחס ההכלה הוא יחס סדר לינארי (מלא) על קבוצת חתכי דדקינד
הוכחה:
- יהיו שני חתכים A,B.
- אם קיים [math]\displaystyle{ m\notin A }[/math] חסם מלעיל של A כך ש[math]\displaystyle{ m\in B }[/math] אזי כל איבר של A אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לB, כלומר [math]\displaystyle{ A\subseteq B }[/math]
- אחרת, לכל [math]\displaystyle{ m\notin A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ m\notin B }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ \overline{A}\subseteq\overline{B} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ B\subseteq A }[/math]

נגדיר את החתכים החיוביים להיות כל החתכים A כך ש[math]\displaystyle{ 0_D \lt A }[/math] ונגדיר את החתכים השליליים על ידי [math]\displaystyle{ 0_D \gt A }[/math]

טענה: [math]\displaystyle{ A\geq 0_D }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ -A\leq 0_D }[/math]
הוכחה:
- ראשית נניח כי [math]\displaystyle{ A\geq 0_D }[/math]
  - כלומר בעצם [math]\displaystyle{ 0_D\subseteq A }[/math] ולכן לכל חסם מלעיל [math]\displaystyle{ m\notin A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ 0\leq m }[/math].
  - לכן לכל [math]\displaystyle{ x\in -A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ x\lt -m\lt 0 }[/math]
  - כלומר כל האיברים ב[math]\displaystyle{ -A }[/math] שליליים, ולכן [math]\displaystyle{ -A\subseteq 0_D }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ -A\leq 0_D }[/math]
- בכיוון ההפוך, נניח כי [math]\displaystyle{ -A\leq 0_D }[/math]
  - לכן כל האיברים ב[math]\displaystyle{ -A }[/math] שליליים.
  - אם קיים [math]\displaystyle{ 0\gt m\notin A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ 0\lt -\frac{m}{2}\in -A }[/math] בסתירה.
- לכן כל המספרים השליליים שייכים לA, כלומר [math]\displaystyle{ 0_D\subseteq A }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ A\geq 0_D }[/math]

כפל חתכי דדקינד

יהיו שני חתכי דדקינד אי שליליים [math]\displaystyle{ 0_D\leq A,B }[/math], נגדיר את הכפל:
- [math]\displaystyle{ A\cdot B =\left\{x\in\mathbb{Q}:\forall m_A\notin A\forall m_B\notin B:x\lt m_A\cdot m_B\right\} }[/math]
אם A שלילי, וB אי שלילי, נגדיר:
- [math]\displaystyle{ A\cdot B = - (-A)\cdot B }[/math]
אם A אי שלילי, וB שלילי, נגדיר:
- [math]\displaystyle{ A\cdot B = - A\cdot (-B) }[/math]
אם A,B שליליים נגדיר:
- [math]\displaystyle{ A\cdot B = (-A)\cdot (-B) }[/math]

שדה הממשיים

הגדרת המספרים הממשיים

הגדרה:
- [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] הוא קבוצת כל חתכי דדקינד.

נוכיח שמדובר בשדה סדור ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל, ולאחר מכן נתאר את הייצוג העשרוני של המספרים הממשיים.

שלמות הממשיים

תהי [math]\displaystyle{ \emptyset\neq A\subseteq \mathbb{R} }[/math] קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים, וחסומה מלעיל (כלומר קיים [math]\displaystyle{ M\in\mathbb{R} }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ \forall a\in A:a\leq M }[/math]. אזי קיים ל[math]\displaystyle{ A }[/math] חסם עליון ממשי.

רעיון ההוכחה

נוכיח כי האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד הוא גם חתך דדקינד.
ברור כי האיחוד הוא חסם מלעיל של הקבוצה כיוון שהוא מכיל את כל איברי הקבוצה.
נוכיח כי האיחוד הוא חסם עליון של הקבוצה.