הקדמה

אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה [math]\displaystyle{ x^2=2 }[/math] (שורש שתיים).

הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math] לראשית הצירים [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math]?

האם ייתכן שהפרבולה [math]\displaystyle{ y=x^2-2 }[/math] עולה מהנקודה [math]\displaystyle{ (0,-2) }[/math] אל הנקודה [math]\displaystyle{ (2,2) }[/math] בלי לחתוך את ציר האיקס?

כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.

כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה [math]\displaystyle{ y=x^2-2 }[/math] עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?

(נבנה באמצעות גאוגברה.)

ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.

כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה [math]\displaystyle{ \left\{x\in\mathbb{Q}| x\lt 0 \vee x^2 \lt 2\right\} }[/math], זו הקרן באיור.

הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.

חתכי דדקינד

הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb{Q} }[/math] המקיימת:
- [math]\displaystyle{ A\neq\emptyset }[/math]
- [math]\displaystyle{ A }[/math] חסומה מלעיל.
- לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb{Q} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ m\notin A }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ m }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math]

הערות ותזכורות:
- חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
- בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה. זה משול לחצי האבוקדו ללא הגרעין.
- בחתך המייצג מספר שאינו רציונאלי, כמו שורש שתיים, גם במשלים של החתך אין מספר קטן ביותר, זה משול לשני חצאי אבוקדו ללא גרעין כלל.
- אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.

הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.

חיבור חתכי דדקינד

יהיו שתי חתכים [math]\displaystyle{ A,B }[/math], נגדיר את החיבור:
- [math]\displaystyle{ A+B=\left\{a+b|a\in A,b\in B\right\} }[/math]

החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
- כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
- סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
- יהי [math]\displaystyle{ a+b\in A+B }[/math], כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים [math]\displaystyle{ a\lt c\in A }[/math] וכן [math]\displaystyle{ b\lt d\in B }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ a+b\lt c+d\in A+B }[/math] ו[math]\displaystyle{ a+b }[/math] אינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A+B }[/math]
- יהי [math]\displaystyle{ m\in\mathbb{Q} }[/math] שאינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A+B }[/math], לכן קיימים [math]\displaystyle{ m\lt a+b\in A+B }[/math]. כעת [math]\displaystyle{ m-a\lt b }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ m-a }[/math] אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ [math]\displaystyle{ m=a+(m-a)\in A+B }[/math].

חתך האפס

נגדיר את חתך האפס, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לחיבור.
[math]\displaystyle{ 0_D=\left\{x\in\mathbb{Q}|x\lt 0\right\} }[/math]

נגדי

יהי חתך A, נגדיר את הנגדי:
- [math]\displaystyle{ -A=\left\{x\in\mathbb{Q}|\exists m\notin A:x\lt -m\right\} }[/math]

לדוגמא [math]\displaystyle{ -\left\{x\in\mathbb{Q}|x\lt 2\right\}=\left\{x\in\mathbb{Q}|x\lt -2\right\} }[/math]

הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו:
- הנגדי לא ריק:
  - כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן [math]\displaystyle{ -A\neq\emptyset }[/math]
- הנגדי חסום מלעיל:
  - יהי [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] לכן לכל [math]\displaystyle{ m\notin A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\lt m }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ -m\lt -a }[/math]
  - לכל [math]\displaystyle{ x\in -A }[/math] קיים [math]\displaystyle{ m\notin A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x\lt -m }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x\lt -a }[/math]
  - בעצם הנגדי של כל איבר בA הוא חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ -A }[/math].
- כל איבר בנגדי אינו חסם מלעיל:
  - לכל איבר בנגדי [math]\displaystyle{ x\lt -m }[/math] לכן אמצע הקטע בין [math]\displaystyle{ x,-m }[/math] גדול מ[math]\displaystyle{ x }[/math] וקטן מ[math]\displaystyle{ -m }[/math] ולכן שייך לנגדי [math]\displaystyle{ -A }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x }[/math] אינו חסם מלעיל.
- אם איבר אינו חסם מלעיל, הוא שייך לנגדי:
  - נניח [math]\displaystyle{ y }[/math] אינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ -A }[/math] לכן קיים [math]\displaystyle{ y\lt x\in -A }[/math] ולכן קיים [math]\displaystyle{ m\notin A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ y\lt x\lt -m }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ y\in -A }[/math]

הוכחה שאכן מדובר באיבר נגדי

יהי חתך [math]\displaystyle{ A }[/math] צריך להוכיח כי [math]\displaystyle{ A+(-A)=0_D }[/math]
נבצע הכלה דו כיוונית
בכיוון ראשון:
- יהי [math]\displaystyle{ x+y\in (A+(-A)) }[/math].
- כיוון ש[math]\displaystyle{ y\in (-A) }[/math] קיים [math]\displaystyle{ m\not\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ y\lt -m }[/math]
- לכן [math]\displaystyle{ x+y\lt m+y\lt 0 }[/math]
- לכן [math]\displaystyle{ x+y\in 0_D }[/math]
בכיוון שני:
- יהי [math]\displaystyle{ t\in 0_D }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ t\lt 0 }[/math]
- רוצים למצוא [math]\displaystyle{ a\in A, b\in (-A) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a+b=t }[/math]
- נבחר [math]\displaystyle{ m\not\in A }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ m+\frac{t}{2}\in A }[/math]
  - מדוע זה אפשרי? כי אם [math]\displaystyle{ m+\frac{t}{2}\not\in A }[/math] אז זה חסם, ואפשר להוסיף לו [math]\displaystyle{ \frac{t}{2} }[/math] שזה מספר שלילי. אחרי מספיק פעמים נהיה קטנים מאיבר בקבוצה
- כעת [math]\displaystyle{ -m+\frac{t}{2}\lt -m }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ -m+\frac{t}{2}\in (-A) }[/math].
- סה"כ [math]\displaystyle{ t=(m+\frac{t}{2})+(-m+\frac{t}{2})\in A+(-A) }[/math]

יחס סדר

יחס ההכלה הוא יחס סדר לינארי (מלא) על קבוצת חתכי דדקינד
הוכחה:
- יהיו שני חתכים A,B.
- אם קיים [math]\displaystyle{ m\notin A }[/math] חסם מלעיל של A כך ש[math]\displaystyle{ m\in B }[/math] אזי כל איבר של A אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לB, כלומר [math]\displaystyle{ A\subseteq B }[/math]
- אחרת, לכל [math]\displaystyle{ m\notin A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ m\notin B }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ \overline{A}\subseteq\overline{B} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ B\subseteq A }[/math]

נגדיר את החתכים החיוביים להיות כל החתכים A כך ש[math]\displaystyle{ 0_D \lt A }[/math] ונגדיר את החתכים השליליים על ידי [math]\displaystyle{ 0_D \gt A }[/math]

טענה: [math]\displaystyle{ A\geq 0_D }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ -A\leq 0_D }[/math]
הוכחה:
- ראשית נניח כי [math]\displaystyle{ A\geq 0_D }[/math]
  - כלומר בעצם [math]\displaystyle{ 0_D\subseteq A }[/math] ולכן לכל חסם מלעיל [math]\displaystyle{ m\notin A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ 0\leq m }[/math].
  - לכן לכל [math]\displaystyle{ x\in -A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ x\lt -m\lt 0 }[/math]
  - כלומר כל האיברים ב[math]\displaystyle{ -A }[/math] שליליים, ולכן [math]\displaystyle{ -A\subseteq 0_D }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ -A\leq 0_D }[/math]
- בכיוון ההפוך, נניח כי [math]\displaystyle{ -A\leq 0_D }[/math]
  - לכן כל האיברים ב[math]\displaystyle{ -A }[/math] שליליים.
  - אם קיים [math]\displaystyle{ 0\gt m\notin A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ 0\lt -\frac{m}{2}\in -A }[/math] בסתירה.
- לכן כל המספרים השליליים שייכים לA, כלומר [math]\displaystyle{ 0_D\subseteq A }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ A\geq 0_D }[/math]

כפל חתכי דדקינד

יהיו שני חתכי דדקינד אי שליליים [math]\displaystyle{ 0_D\leq A,B }[/math], נגדיר את הכפל:
- [math]\displaystyle{ A\cdot B =\left\{x\cdot y|x\in A\setminus 0_D \wedge y\in B\setminus 0_D\right\}\cup 0_D }[/math]
אם A שלילי, וB אי שלילי, נגדיר:
- [math]\displaystyle{ A\cdot B = - ((-A)\cdot B) }[/math]
אם A אי שלילי, וB שלילי, נגדיר:
- [math]\displaystyle{ A\cdot B = - (A\cdot (-B)) }[/math]
אם A,B שליליים נגדיר:
- [math]\displaystyle{ A\cdot B = (-A)\cdot (-B) }[/math]

הוכחה שהמכפלה נותנת חתך דדקינד

יהיו שני חתכי דדקינד חיוביים [math]\displaystyle{ 0_D\lt A,B }[/math]

ברור שהמכפלה לא ריקה כיוון ש [math]\displaystyle{ 0_D\subseteq A\cdot B }[/math]

כיוון שA,B חתכי דדקינד מדובר בקבוצות חסומות, אז קיימים חסמי מלעיל [math]\displaystyle{ m_A,m_B }[/math] בהתאמה.
לכל [math]\displaystyle{ xy\in AB }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ x\lt m_A,y\lt m_B }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ xy\lt m_A\cdot m_B }[/math]. זה נכון כי החסמים חיוביים, כי מדובר בחתכים חיוביים.

אם [math]\displaystyle{ t\in AB }[/math] צ"ל כי [math]\displaystyle{ t }[/math] אינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ AB }[/math].
אם [math]\displaystyle{ t\leq 0 }[/math] ברור שאינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ AB }[/math] כיוון שיש בקבוצה מספרים חיוביים.
לכן [math]\displaystyle{ t=xy\in AB }[/math].
כיוון ש[math]\displaystyle{ x }[/math] אינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math] קיים [math]\displaystyle{ x\lt z\in A }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ xy\lt zy\in A }[/math] בסתירה.

אם [math]\displaystyle{ t\not\in AB }[/math] צ"ל כי [math]\displaystyle{ t }[/math] חסם מלעיל.
נב"ש כי [math]\displaystyle{ t }[/math] אינו חסם מלעיל, לכן יש בקבוצה איבר גדול ממנו.
כיוון ש [math]\displaystyle{ t\not\in AB }[/math] נובע כי [math]\displaystyle{ t\gt 0 }[/math], ולכן האיבר שגדול ממנו הוא מהצורה [math]\displaystyle{ t\lt xy }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ \frac{t}{y}\lt x }[/math], נבחר [math]\displaystyle{ x_1 =\frac{t}{y}\lt x }[/math].
כיוון ש[math]\displaystyle{ x_1 \lt x }[/math] נובע כי [math]\displaystyle{ x_1 \in A }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ t=x_1 y\in A\cdot B }[/math] בסתירה.

אם אחד החתכים הוא [math]\displaystyle{ 0_D }[/math] קל להוכיח כי מכפלתם היא [math]\displaystyle{ 0_D }[/math] ולכן מהווה חתך.

חתך היחידה

נגדיר את חתך היחידה, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לכפל.
[math]\displaystyle{ 1_D=\{x\in\mathbb{Q}|x\lt 1\} }[/math]

הופכי

אם A חיובי נגדיר את ההופכי שלו להיות
[math]\displaystyle{ A^{-1}=\{x\in\mathbb{Q}|\exists m\not\in A:x\lt \frac{1}{m}\} }[/math]
אם A שלילי נגדיר את ההופכי שלו להיות
[math]\displaystyle{ A^{-1}=-(-A)^{-1} }[/math]

הוכחה שההופכי הוא חתך דדקינד

נניח A חיובי, ויהי [math]\displaystyle{ 0\lt a\in A }[/math].
לכל חסם [math]\displaystyle{ m\not\in A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\lt m }[/math]
לפיכך [math]\displaystyle{ \frac{1}{m}\lt \frac{1}{a} }[/math]
לכן [math]\displaystyle{ \frac{1}{a} }[/math] הוא חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math]

ברור כי [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] אינו ריק, כי לA יש חסם מלעיל, וכל מספר שקטן ממהופכי שלו שייך ל[math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math]

נוכיח כי כל מספר ב[math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] אינו חסם מלעיל.
אם [math]\displaystyle{ x\lt \frac{1}{m}\in A^{-1} }[/math] אז גם אמצע הקטע [math]\displaystyle{ x\lt y\lt \frac{1}{m}\in A^{-1} }[/math]

לבסוף, יהי [math]\displaystyle{ x }[/math] שאינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math]
לכן [math]\displaystyle{ x\lt y\in A^{-1} }[/math]
והרי קיים חסם של A כך ש [math]\displaystyle{ y\lt \frac{1}{m} }[/math]
ולכן גם [math]\displaystyle{ x\lt \frac{1}{m} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x\in A^{-1} }[/math]

שדה הממשיים

הגדרת המספרים הממשיים

הגדרה:
- [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] הוא קבוצת כל חתכי דדקינד.

נוכיח שמדובר בשדה סדור ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל, ולאחר מכן נתאר את הייצוג העשרוני של המספרים הממשיים.

שלמות הממשיים

תהי [math]\displaystyle{ \emptyset\neq A\subseteq \mathbb{R} }[/math] קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים, וחסומה מלעיל (כלומר קיים [math]\displaystyle{ M\in\mathbb{R} }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ \forall a\in A:a\leq M }[/math]. אזי קיים ל[math]\displaystyle{ A }[/math] חסם עליון ממשי.

הוכחה

נסמן ב[math]\displaystyle{ S }[/math] את האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד ששייכים ל[math]\displaystyle{ A }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ S=\cup_{x\in A} x }[/math]

נוכיח כי האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד הוא גם חתך דדקינד.
- [math]\displaystyle{ S }[/math] אינה ריקה
  - [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה ריקה, ולכן קיים [math]\displaystyle{ x\in A }[/math].
  - כיוון ש[math]\displaystyle{ x }[/math] חתך דדקינד הוא אינו ריק.
  - [math]\displaystyle{ x\subseteq S }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ S }[/math] אינה ריקה
- [math]\displaystyle{ S }[/math] חסומה:
  - כיוון ש[math]\displaystyle{ M }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ x\leq M }[/math]
  - לפי יחס הסדר מתקיים כי [math]\displaystyle{ x\subseteq M }[/math].
  - כיוון שלכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ x\subseteq M }[/math] נובע כי גם [math]\displaystyle{ S\subseteq M }[/math].
  - לכן [math]\displaystyle{ S }[/math] חסומה מלעיל.
- נוכיח כי [math]\displaystyle{ x\in S }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x }[/math] אינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ S }[/math]
  - אם [math]\displaystyle{ x\in S }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x\in D\in A }[/math]
  - אם [math]\displaystyle{ x }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ S }[/math] אזי הוא בפרט חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ D }[/math] בסתירה.
  - מצד שני, אם [math]\displaystyle{ m }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ S }[/math] הוא בפרט חסם מלעיל של כל איברי [math]\displaystyle{ A }[/math] ולכן אינו שייך לאף אחד מאיברי [math]\displaystyle{ A }[/math] ולכן אינו שייך ל[math]\displaystyle{ S }[/math]

ברור כי לכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ x\leq S }[/math] כיוון ש[math]\displaystyle{ x\subseteq S }[/math] (כל קבוצה מוכלת באיחוד).

נוכיח כי [math]\displaystyle{ S }[/math] הוא החסם העליון של [math]\displaystyle{ A }[/math].
נב"ש כי קיים [math]\displaystyle{ T }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ T\lt S }[/math].
לכן קיים [math]\displaystyle{ x\in S\setminus T }[/math].
לכן קיים [math]\displaystyle{ D\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x\in D }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ D\not\subseteq T }[/math] בסתירה לכך ש[math]\displaystyle{ T }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math]