אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר

חומרי עזר

• מבחנים ובחנים עם פתרונות

סרטונים ותקצירי הרצאות

הפלייליסט של כל הסרטונים

פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה

מכפלה סקלרית

[math]\displaystyle{ v\cdot w = |v||u|\cos(\theta) }[/math]

מכפלה פנימית

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math]

מכפלה פנימית היא מכפלה [math]\displaystyle{ \langle \cdot, \cdot\rangle:V\times V\to \mathbb{F} }[/math] המקיימת את ארבע התכונות הבאות:

לכל [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי:

• אדטיביות [math]\displaystyle{ \langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle }[/math]
• כפל בסקלר [math]\displaystyle{ \langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle }[/math]
• הרמיטיות [math]\displaystyle{ \langle y,x\rangle = \overline{\langle x,y\rangle} }[/math]
• אי שליליות [math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle \geq 0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle =0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \langle av_1 +bv_2 ,cw_1+dw_2\rangle = a\overline{c}\langle v_1,w_1\rangle + a\overline{d}\langle v_1,w_2\rangle+ b\overline{c}\langle v_2,w_1\rangle+b\overline{d}\langle v_2,w_2\rangle }[/math]

נורמה

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math]

נורמה היא פונקציה [math]\displaystyle{ ||\cdot||:V\to\mathbb{R} }[/math] המקיימת את שלושת התכונות הבאות.

לכל [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי:

• אי שליליות [math]\displaystyle{ ||x|\geq 0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ ||x||=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]
• כפל בסקלר [math]\displaystyle{ ||cx|| = |c|\cdot ||x|| }[/math]
• אי שיוויון המשולש [math]\displaystyle{ ||x+y||\leq ||x||+||y|| }[/math]

נורמה מושרית

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math].

הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית היא הפונקציה [math]\displaystyle{ ||\cdot||:V\to\mathbb{R} }[/math] המוגדרת ע"י הנוסחא:

[math]\displaystyle{ ||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} }[/math]

שימו לב: הפונקציה מוגדרת היטב -

מתכונת האי-שליליות של המכפלה הפנימית ידוע כי [math]\displaystyle{ 0\leq \langle v,v\rangle\in\mathbb{R} }[/math] ולכן מותר להוציא שורש.

הנורמה המושרית היא אכן נורמה

נוכיח כי הנורמה המושרית היא אכן נורמה.

תכונת האי-שליליות של הנורמה מתקבלת בחינם, כי [math]\displaystyle{ ||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} \geq 0 }[/math] ממש לפי הגדרת פונקצית השורש.

כעת, יהי סקלר [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{C} }[/math] אזי

[math]\displaystyle{ ||cv||=\sqrt{\langle cv,cv\rangle}=\sqrt{c\overline{c}\langle v,v\rangle}=\sqrt{|c|^2\langle v,v\rangle}=|c|\cdot \langle v,v\rangle=|c|\cdot ||v|| }[/math]

לבסוף, עלינו להוכיח את אי שיוויון המשולש, אך זה ידרוש קצת הכנה מקדימה.

מכפלה פנימית מושרית

• האם כל נורמה היא נורמה מושרית?

• האם ייתכן שנורמה תהיה הנורמה המושרית של שתי מכפלות פנימיות שונות?

לתשובות ולהוכחות קראו את הערך מכפלה פנימית מושרית.

פרק 2 - המרחב הניצב

• משפט הפירוק הניצב
• בא"נ והיטלים
• אי שיוויון בסל
• משפט פיתגורס
• גרם שמידט