קמירות
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־06:18, 14 בפברואר 2017 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)
הגדרה
תהי פונקציה ממשית הגזירה בנקודה . אם קיימת סביבת עבורה הפונקציה גדולה או שווה למשיק בנקודה , אומרים כי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב- .
באופן דומה, אם קיימת סביבת עבורה הפונקציה קטנה או שווה למשיק בנקודה , אומרים כי הפונקציה קמורה כלפי מטה ב- .
(ראו גם נקודת פיתול.)
תנאי מספיק
אם גזירה פעמיים ברציפות בנקודה , והנגזרת השניה חיובית אזי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב- . אם הנגזרת השניה שלילית הפונקציה קמורה כלפי מטה, אחרת לא ניתן לקבוע.
- הוכחה
לפי פיתוח טילור ההפרש בין הפונקציה למשיק שווה:
מתוך רציפות הנגזרת השנייה, אם היא חיובית ב- קיימת סביבת עבורה לכל מתקיים . באופן דומה עבור נגזרת שניה שלילית.