אנליזת פורייה - ארז שיינר
מבחנים לדוגמא
תקציר ההרצאות
הקדמה
גלים
- מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
- לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
- תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
- אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
- פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
- אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.
- מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
- למדנו במד"ר על המשוואה [math]\displaystyle{ y''=-k^2y }[/math] המתארת תנועה על מסה המחוברת לקפיץ
- זו למעשה תנועה כללית של גל - ככל שהוא מתרחק, גדל הכוח שמושך אותו למרכז. מיתר גיטרה הוא דוגמא טובה נוספת.
- הפתרון הכללי למד"ר הוא [math]\displaystyle{ y=a\sin(kt)+b\cos(kt) }[/math].
- הקבוע [math]\displaystyle{ k }[/math] קובע את התדר של כל גל.
- הקבועים [math]\displaystyle{ a,b }[/math] קובעים את האמפליטודה של כל גל.
- מה לגבי הפאזה?
- בפונקציה [math]\displaystyle{ a\sin(kt+t_0) }[/math], הקבוע [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] קובע את הפאזה.
- ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
- [math]\displaystyle{ a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt) }[/math]
- האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי [math]\displaystyle{ a\sin(kt)+b\cos(kt) }[/math] ניתן להציג כגל יחיד?
- תשובה: כן.
- הוכחה:
- נסמן [math]\displaystyle{ z=a+bi=rcis(\theta) }[/math]
- כלומר [math]\displaystyle{ a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta) }[/math]
- שימו לב:
- סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
- הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
- לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
- האפליטודה של הגל החדש היא [math]\displaystyle{ r=\sqrt{a^2+b^2} }[/math].
- האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
- בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
- האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
- למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
- במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.
טורי פורייה
- טור פורייה הוא טור מהצורה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right] }[/math]
- אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math]?
חישובים להקדמה
- ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
- [math]\displaystyle{ \sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right] }[/math]
- [math]\displaystyle{ \cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right] }[/math]
- כעת, לכל [math]\displaystyle{ 0\neq n\in\mathbb{N} }[/math] נקבל:
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos(2nx))dx = \frac{1}{2\pi}\left[x-\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right]_{-\pi}^{\pi}=1 }[/math]
- עבור [math]\displaystyle{ n\neq k \in \mathbb{N} }[/math] נקבל:
- [math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n-k)x)-\cos((n+k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}-\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0 }[/math]
- שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש[math]\displaystyle{ n-k,n+k\neq 0 }[/math].
- באופן דומה, לכל [math]\displaystyle{ 0\neq n\in\mathbb{N} }[/math] נקבל:
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1 }[/math]
- עבור [math]\displaystyle{ n\neq k \in \mathbb{N} }[/math] נקבל:
- [math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0 }[/math]
- שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש[math]\displaystyle{ n-k,n+k\neq 0 }[/math].
- עבור [math]\displaystyle{ n,k\in \mathbb{N} }[/math] נקבל:
- [math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(kx)dx=0 }[/math] כיוון שמדובר באינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית.
- ולבסוף, עבור [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] נקבל
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2 }[/math]
- שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.
- הערה חשובה:
- למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה [math]\displaystyle{ \{\frac{1}{2},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\} }[/math] מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית [math]\displaystyle{ \langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx }[/math]
מקדמי הטור
- כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\right)\cos(kx)dx= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}\cos(kx)+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right]\right)dx= }[/math]
- כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
- [math]\displaystyle{ =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(kx)dx + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right)dx\right] }[/math]
- לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx=a_k }[/math]
- שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור [math]\displaystyle{ k=0 }[/math].