משפט 10
הוכחה
לכל N מתקיים . נשאיף אזי . נותר להוכיח ש- מתכנס, ונעשה זאת ע"י כך שנראה שהוא מתכנס בהחלט. נסמן c כ-1 אם אחרת: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \sum_{n=1}^\infty |S_n||b_n-b_{n+1}|\le\sum_{n=1}^\infty M(b_n-b_{n+1})|c|=|\pm1|M\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})=M(b_1-\lim_{n\to\infty}b_n})=Mb_1\in\mathbb R
כלומר הסכום מתכנס.
הערות ודוגמאות
- משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של משפט דיריכלה: נגדיר (ולכן הסכומים החלקיים חסומים) ולכן עבור מונוטונית יורדת שואפת לאפס מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \sum_{n=1^\infty a_n b_n
, שהוא טור לייבניץ, הטור מתכנס.
- נניח ש- יורדת לאפס ונראה שהטור מתכנס. נגדיר ולכן מספיק להראות שהסכומים החלקיים חסומים. נסתמך על זהות טריגונומטרית האומרת ש-. לפי זה לכל n מתקיים . לכן .
תזכורת: עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג . כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה: . כאשר f אינטגרבילית מקומית ב- מגדירים ואפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.
הגדרה: תהי f מוגדרת בכל . נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי . למשל אם f רציפה למקוטעין ב- אז היא אינטגרבילית מקומית.
הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. נגדיר להיות בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש- מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר ונבדוק:
- שני האינטגרלים מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים מתכנסים. אבל עפ"י משפט 2 מתכנס אם"ם מתכנס. באותו אופן מתכנס אם"ם מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
- נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים אז הם שווים ל-. ובכן עפ"י משפט 2 וגם . נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.
אינטגרל לא אמיתי מסוג שני
מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע . נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש- f אינטגרבילית בקטע (למשל אם f רציפה למקוטעין ב-).
אז נגדיר אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע . אם אין גבול אומרים ש- מתבדר.
דוגמאות
- נקח ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי . עבור נקבל והאינטגרל מתבדר. עבור נקבל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}[\frac{x^{-p+1}}{x^{-p+1}}]_{x\to R^+}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}
.
- . נציב וכן לקבל כלומר מתכנס.
- דרך קצרה: .
לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.
הנחה קבועה: נניח ש-f ו-g אינטגרביליות מקומית בקטע .
משפט 1
אם f ו-g אינטגרביליות ב- ואם c קבוע אז אינטגרבילית בקטע ומתקיים .
משפט 2
עבור f אינטגרבילית בקטע אם"ם היא אינטגרבילית בקטע ואם כן .
משפט 3
תהי F מוגדרת ומונוטונית בקטע אזי קיים אם"ם F חסומה בקטע .
מסקנה
עבור האינטגרל מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים חבומים כאשר .
משפט 4 (מבחן ההשוואה)
נניח שב- מתקיים .
- אם מתכנס אז מתכנס.
- אם מתבדר אז מתבדר.