את משפט 7 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-12.4.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)
הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. נאמר ש-
מתכנס בהחלט אם
מתכנס. אם האינטגרל מתכנס אבל לא בהחלט נאמר שהוא מתכנס בתנאי.
משפט 8
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. אם
מתכנס אז
מתכנס. במילים: אם f אינטגרבילית בהחלט בקטע
אז f אינטגרבילית בקטע.
הוכחה
לפי המסקנה למשפט 7 מספיק להוכיח ש- מקיים את תנאי קושי. לצורך זה יהי
נתון. כיוון ש-
מתכנס הוא מקיים את תנאי קושי וקיים
כך שאם
אז
. נובע מיד ש-
. קיימנו את תנאי קושי ל-
ולכן הוא מתכנס.
גישה אחרת: נגדיר וכן
. לכן
אי-שליליות. קל להראות שלכל x,
וכן
(גאומטרית:
השטח שמעל ציר ה-x ו-
השטח שמתחת).
כעת, אם נתון ש- מתכנס, מבחן ההשוואה אומר שכיוון ש-
שני האינטגרלים
מתכנסים ונובע ממשפט 1 ש-
, כלומר
מתכנס.
דוגמאות
-
- מתכנס או מתבדר? נראה התכנסות ע"י הוכחת התכנסות בהחלט:
ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה עם
,
מתכנס.
- נבנה דוגמאות של f מוגדרת ורציפה ב-
כך ש-
מתכנס אעפ"י ש-
מתבדר, ולהיפך:
מתכנס ואילו
מתבדר. ובכן, אם
אז
ואין גבול, לכן האינטגרל מתבדר. לעומת זאת,
, שבוודאי מתכנס. לצד השני נגדיר פונקציה f ע"י הגרף
אזי- מתבדר. לעומת זאת,
השטח שמתחת לגרף
משפט 9 (מבחן דיריכלה)
נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב- ונניח שהאינטגרלים החלקיים
חסומים כאשר
(ז"א קיים
כך ש-
). עוד נניח ש-g מוגדרת, מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-
ו-
אזי
מתכנס.
הוכחה
לכל נגדיר
. כיוון ש-f רציפה המשפט היסודי אומר ש-
לכל
. יתר על כן, הנתונים שלנו גוררים ש-
. כעת
. נראה שכל אחד מהמחוברים באגף ימין הם גבולות מתכנסים:
. נותר להוכיח שקיים
, ז"א צריך להוכיח שהאינטגרל
מתכנס. עפ"י משפט 8 מספיק להראות שהאינטגרל הזה מתכנס בהחלט. נתון ש-g מונוטונית ולכן
לכל
או
לכל
. נניח ש-
(ההוכחה במקרה השני דומה). יוצא שלכל
מתקיים
ושהאינטגרל של
הוא
כי נתון ש-
. לסיכום הראנו ש-
מתכנס. ממבחן ההשוואה נסיק שמתכנס
ולכן מתכנס
. לכן קיים
וסיימנו את ההוכחה.
דוגמאות
- נראה כי לכל
האינטגרל
מתכנס: נגדיר
. מכאן נובע כי ל-f יש אינטגרלים חלקיים חסומים:
. יתר על כן,
פונקציה מונוטונית יורדת ובעלת נגזרת רציפה
בקטע
ומתקיים
. קיימנו את תנאי מבחן דיריכלה ולכן האינטגרל מתכנס.
- נוכיח ש-
אינו מתכנס בהחלט, ולמעשה
: לכל
, מכיוון ש-
,
. ע"פ מבחן ההשוואה מספיק להראות ש-
מתבדר. נעזר בזהות
להראות ש-
. קל להראות (בעזרת מבחן דיריכלה) כי
מתכנס. כמו כן, ידוע לנו כי
. עתה נניח בשלילה ש-
מתכנס. לפי משפט 1
, אבל זהו סכום של אינטגרלים מתכנסים השווה לאינטגרל שמתבדר, בסתירה.
כהשלמה לאינפי 1 נביא את משפט דיריכלה להתכנסות טורים.
![\sum_{n=1}^N a_nb_n](/images/math/a/f/d/afd1dd4d290020d012e4b9c61a048402.png)
![S_n=\sum_{k=1}^n a_k](/images/math/d/1/d/d1d2a02ba76df585f05edb2549d23642.png)
![\forall n:\ a_n=S_n-S_{n-1}](/images/math/0/a/c/0acc952dd046c5097131a04646bc3c75.png)
![\begin{align}\sum_{n=1}^N a_nb_n&=S_1b_1+(S_2-S_1)b_2+(S_3-S_2)b_3+\dots+(S_N-S_{N-1})b_N\\&=S_1(b_1-b_2)+S_2(b_2-b_3)+\dots+S_{N-1}(b_{N-1}-b_N)+S_Nb_N\end{align}](/images/math/1/7/c/17cd480b3fb71250e77e10901d3257e6.png)
![\sum_{n=1}^Na_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N](/images/math/4/e/0/4e04477c6bc5d141e66fa0f79821b16c.png)
משפט 10 (משפט דיריכלה לטורים)
נניח שלטור יש סכומים חלקיים
חסומים (כלומר
). עוד נניח ש-
סדרה מונוטונית כך ש-
. אז
מתכנס.
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
הוכחה
לכל N מתקיים . נשאיף
אזי
. נותר להוכיח ש-
מתכנס, ונעשה זאת ע"י כך שנראה שהוא מתכנס בהחלט.
נסמן c כ-1 אם ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
|||||
הטור טלסקופי. | ![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
כלומר הסכום מתכנס.
הערה
משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של משפט דיריכלה: נגדיר (ולכן הסכומים החלקיים חסומים). מכאן נובע שעבור
מונוטונית יורדת שואפת לאפס הטור
, שהוא טור לייבניץ, מתכנס.
דוגמה
נניח ש- יורדת לאפס ונראה שהטור
מתכנס. נגדיר
ולכן מספיק להראות שהסכומים החלקיים
חסומים. נסתמך על זהות טריגונומטרית האומרת ש-
. לפי זה לכל n מתקיים
. לכן
![]() |
![]() |
![]() |
||||
הטור טלסקופי, לכן: | ![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)