את דוגמה 4 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותה ב-31.5.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
טורי חזקות (המשך)
תזכורת: בהרצאה הקודמת הוכחנו ש- לכל
והערנו שאם ניתן להציב
נקבל את המשוואה היפה
. כמו כן אמרנו ש-
עבור
ושאם מותר להציב
אזי
.
משפט 5 (משפט אבל)
נניח ש- בקטע
ו-
מתכנס ל-
, אזי
קיים ושווה ל-S.
הוכחה
נעזר בסכימה בחלקים: נסמן ולכן
כאשר
. לפי הנתון
, ולכן אם
אז
ועבור
מתקיים
. כמו כן,
(כי
). לכן
ומכאן שעבור
מתקיים
. נרצה להוכיח ש-
: יהי
נתון ומכיוון ש-
קיים
כך שלכל
יתקיים
. נסמן
וכן
, לכן
. עתה
. לגבי
נגדיר
ולכן
. עתה
ולכן
, לכן
. לסיכום הוכחנו שאם
אזי
ולכן
.
מסקנה
לגבי טור חזקות כללי בעל רדיוס התכנסות R:
- אם
מתכנס ל-S אזי
קיים ושווה ל-S.
- אם
מתכנס ל-T אזי
קיים ושווה ל-T.
הוכחה
- נציב
ולכן
עבור
, כלומר עבור
. נגדיר
ולכן מתקיימים תנאי משפט אבל ומתקיים
, לכן
.
- נציב
ונוכיח כמו בסעיף 1.
משפט 6 (משפט דיני)
נניח שלכל n רציפה ב-
ונניח שסדרת הפונקציות מונוטונית, כלומר לכל
הסדרה
עולה או לכל
הסדרה
יורדת. כמו כן ידוע כי
ו-f רציפה ב-
, אזי ההתכנסות במ"ש.
הסבר
לפני ההוכחה נסביר למה צריך את כל הנתונים:
- אם הקטע פתוח במקום סגור, נבחר את הקטע
ואת סדרת הפונקציות
. ברור כי כל הפונקציות רציפות בקטע וסדרת הפונקציות מונוטונית, וכן הפונקציה הגבולית היא הפונקציה הרציפה
, אבל כבר הוכחנו בעבר שההתכנסות אינה במ"ש.
- בקטע סגור
נבחר באותה סדרת פונקציות. הפונקציה הגבולית היא
שאינה רציפה, ואכן ההתכנסות אינה במ"ש.
- נגדיר סדרת פונקציות לפי הגרף שמשמאל. כל
רציפה ב-
והן מתכנסות לפונקציה הרציפה 0, אבל סדרת הפונקציות לא מונוטונית, ואכן ההתכנסות אינה במ"ש.
- נגדיר
ולכן סדרת הפונקציות מונוטונית אבל הפונקציות אינן רציפות, ואכן, למרות שהפונקציה הגבולית 0 רציפה, ההתכנסות אינה במ"ש.
הוכחה
במקרה הראשון נניח שסדרת הפונקציות יורדת מונוטונית. לכן היא סדרת פונקציות יורדת מונוטונית השואפת ל-0 ב-
. נסמן
(ולכן
חיובית) ונניח בשלילה שההתכנסות
אינה במ"ש בקטע. לפיכך קיים
כל שלכל
קיימים
ו-
עבורם
. בפרט, עבור
קיימים
ו-
כך ש-
. עבור
קיימים
ו-
כך ש-
וכן הלאה. בדרך זו בונים תת סדרה
של
וסדרה
ב-
כך ש-
.
נמצאת ב-
ולכן היא חסומה, אזי לפי משפט בולצאנו וירשטראס יש תת סדרה
השואפת ל-
. לפי הבניה הנ"ל מתקיים
ומכיוון ש-
קיים
כך שלכל
יתקיים
.
פונקציה רציפה שקטנה מ-
ב-
ולכן יש סביבה S של
שבה
קטנה מ-
. ה-
יורדות ולכן לכל
ולכל
מתקיים
, אבל לפי הבנייה
ולכן לכל l מספיק גדול מתקיים
, בסתירה לכך שלכל l מתקיים
. הסתירה מוכיחה את המשפט במקרה הזה.
במקרה השני נניח שסדרת הפונקציות עולה מונוטונית. נסמן ולכן
יורדת ומתקיימים שאר תנאי המשפט, ולכן
במ"ש. מכאן ש-
במ"ש והוכחנו גם את המקרה השני.
השתנות חסומה
אינטואיטיבית, פונקציה בעלת השתנות חסומה היא פונקציה שהשינוי שלה בציר ה-y הוא סופי (הגדרה מדוייקת ניתן בהרצאה הבאה).
דוגמאות
- ההשתנות הכללית של
בקטע
היא 3 (ובפרט היא חסומה) כי הפונקציה עלתה 1 וירדה 2.
- על
ההשתנות של
היא 1 כי הפונקציה ירדה מ-1 ל-0.
- לפונקציה
ב-
יש השתנות אינסופית כי היא עלתה וירדה בין
אינסוף פעמים.
- נגדיר
בקטע
. האם יש לה השתנות חסומה? כאן יותר קשה לנחש מה ההשתנות כי מחד יש אינסוף עליות ומורדות, ומצד שני כאשר
גם גדלי העליות והירידות שואפים ל-0. נוכיח שההשתנות אינה חסומה: לכל
יש לפונקציה נקודת קיצון ב-
, וב-
היא עולה או יורדת מהקו
ל-
, לכן ההשתנות שלה בקטע זה היא
, שגדול מ-
. מכאן נובע שההשתנות הכוללת ב-
גדולה מ-
, ומכאן של-f אין השתנות חסומה ב-
.