5
נראה קודם כי הפונקציה f קעורה לפי התנאי לעיל (אני לא בטוח שהחלק הזה הכרחי, אבל למה לא?).
f קעורה עבור כל שתי נקודות בקטע, הישר המחבר בין הנקודות נמצא תחת גרף הפונקציה.
הוכחה (טענה)
יהיו , ונניח בה"כ
.
משוואות הישר העובר בין שתי הנקודות היא:
תהי , נקודה בקטע בין שתי הנקודות, נרצה להראות כי
(וזה אומר שהישר מתחת לגרף הפונקציה).
קיים שעבורו:
, כעת נציב את
במשוואת הישר g.
ולפי הנתון שנתון לנו, נקבל כי:
.
מה שרצינו להוכיח.
בחזרה לתרגיל
ואם נחזור להוכחה המקורית, אז הפונקציה f נמצאת מעל הישר שמחבר את הנק': בקטע
.
וכן הפונקציה f נמצאת מעל הישר שמחבר את הנק': בקטע
.
כל הישרים המחברים את הנקודות נמצאים מעל הישר
בקטע
כל הישרים המחברים את הנקודות נמצאים מעל הישר
בקטע
(תוכיחו את זה אם בא לכם, זה באמת לא קשה)
ובסה"כ מתקיים:
ומכיוון ששתי הפונקציות אי שליליות, אז לפי משפט:
אבל את האינטגרל של קל לחשב ומתקבל:
ולכן סיימנו (:.