88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 3/פתרון

1

ראו פתרון בקישור הבא (תרגיל מס' 3): פתרון

2

ראו פתרון בקישור הבא (תרגיל מס' 4): פתרון

3

ראו פתרון בקישור הבא (תרגיל מס' 7): פתרון

4

ראו פתרון בקישור הבא (תרגיל מס' 8): פתרון

5

(זה לא לקוח מתרגילי בית קודמים!)

אם מישהו יכול לעבור על זה ולראות שהכל כשורה יהיה זה נחמד.

נראה קודם כי הפונקציה f קעורה לפי התנאי הנתון (אני לא בטוח שהחלק הזה הכרחי, אבל למה לא?).

f קעורה $\Leftarrow$ עבור כל שתי נקודות בקטע, הישר המחבר בין הנקודות נמצא תחת גרף הפונקציה.

הוכחה (טענה)

יהיו $x_{1},x_{2}\in [0,2]$, ונניח בה"כ $x_{1}<x_{2}$.

משוואות הישר העובר בין שתי הנקודות היא: $g(x)=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})+f(x_{1})$

תהי $y\in [x_{1},x_{2}]$, נקודה בקטע בין שתי הנקודות, נרצה להראות כי $f(y)\geq g(y)$ (וזה אומר שהישר מתחת לגרף הפונקציה).

קיים $t\in [0,1]$ שעבורו: $y=tx_{1}+(1-t)x_{2}$, כעת נציב את $y$ במשוואת הישר g.

$g(y)=g(tx_{1}+(1-t)x_{2})=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}(tx_{1}+(1-t)x_{2}-x_{1})+f(x_{1})=$

$\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}(1-t)(x_{2}-x_{1})+f(x_{1})=(1-t)(f(x_{2})-f(x_{1}))+f(x_{1})=tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})$

ולפי הנתון שנתון לנו, נקבל כי:

$f(y)=f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\geq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})=g(y)$.

מה שרצינו להוכיח.

בחזרה לתרגיל

ואם נחזור להוכחה המקורית, אז הפונקציה f נמצאת מעל הישר שמחבר את הנק': $x_{1}=0, x_{2}=1$ בקטע $[0,1]$.

וכן הפונקציה f נמצאת מעל הישר שמחבר את הנק': $x_{2}=1, x_{3}=2$ בקטע $[1,2]$.

כל הישרים המחברים את הנקודות $(0, f(0)), (1,1)$ נמצאים מעל הישר $y=x$ בקטע $[0,1]$

כל הישרים המחברים את הנקודות $(1,1), (2,f(2))$ נמצאים מעל הישר $y=2-x$ בקטע $[1,2]$

(תוכיחו את זה אם בא לכם, זה באמת לא קשה)

ובסה"כ מתקיים: $f(x)\geq h(x)=\begin{cases} x & \text{ if } x\in[0,1] \\ 2-x & \text{ if } x\in [1,2] \end{cases}$

ומכיוון ששתי הפונקציות אי שליליות, אז לפי משפט: $\int_{0}^{2}f(x)dx\geq \int_{0}^{2}h(x)dx$

אבל את האינטגרל של $h(x)$ קל לחשב ומתקבל: $\int_{0}^{2}h(x)dx=1$

ולכן סיימנו (:.

הערה: אפשר גם סתם לראות ש $f(x)+f(2-x) \geq 1$ ולהשתמש בהשוואת אינטגרלים.

אתה בטוח שזה נכון? אם מסתכלים נניח על $f(x)=2x-x^{2}$ זה לא נכון עבור כל x.