מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/1

חזרה למערכי השיעור

על מספרים ומה שביניהם

הפעם הראשונה שאנו לומדים לספור היא בעזרת האצבעות- אצבע אחת, שתי אצבעות וכן הלאה. במתמטיקה אנו קוראים למספרים האלה טבעיים ומסמנים:

[math]\displaystyle{ \mathbb{N}=\{1,2,3,...\} }[/math]

לעומת פעולת החיבור הטבעית, פעולת החיסור הידועה לא בדיוק קיימת. מה שאנו מכנים חיסור, הוא למעשה חיבור במספר נגדי. המספרים הטבעיים ביחד עם אפס והמספרים הנגדיים נקראים שלמים ומסומנים:

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}=\{0,\pm 1,\pm 2, ...\} }[/math]

באופן דומה, אנו רוצים לכפול במספר הופכי (חצי, שליש, וכדומה) על מנת לבצע פעולת חילוק. אנו מגדירים את המספרים הראציונאליים בתור כל השברים של שני מספרים שלמים ומסמנים:

[math]\displaystyle{ \mathbb{Q}=\{\frac{p}{q}|p,q\in \mathbb{Z}\} }[/math] (שימו לב לסימון [math]\displaystyle{ \in }[/math] האומר שייך לקבוצה. כמובן שבכיתה ובהמשך נבהיר את הרישום המתמטי)

שאלה: האם כעת תיארנו את כל המספרים שאנו מכירים?

תשובה: לא. נוכיח כעת כי המספר 'שורש 2', כלומר הפתרון למשוואה [math]\displaystyle{ x^2=2 }[/math] אינו מספר רציונאלי. לו שורש 2 היה מספר רציונאלי, היה ניתן להציג אותו כשבר מצומצם:

[math]\displaystyle{ \sqrt{2}=\frac{p}{q} }[/math]

נעלה את שני האגפים בריבוע, ונקבל:

[math]\displaystyle{ 2=\frac{p^2}{q^2} }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ 2q^2=p^2 }[/math]

כלומר p הינו מספר זוגי. נסמן אם כך [math]\displaystyle{ p=2a }[/math]. ולכן:

[math]\displaystyle{ 2q^2=4a^2 }[/math]

נחלק ב2 את שני האגפים ונקבל

[math]\displaystyle{ q^2=2a^2 }[/math]

כלומר גם q הינו מספר זוגי. אבל זה לא ייתכן, כיוון שהצגנו את שורש 2 כשבר מצומצם. לכן הגענו לסתירה המצביעה על העובדה שההנחה שלנו היא לא נכונה. ההנחה שלנו כמובן היא ששורש 2 הוא מספר רציונאלי.