שילוש מטריצה

הגדרה

מטריצה A נקראת ניתנת לשילוש אם קיימת מטריצה משולשית עליונה הדומה לה

משפט

מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים

אלגוריתם לשילוש מטריצה

• ניקח את האיחוד של הבסיסים למרחבים העצמיים E ונשלים אותו לבסיס B

• נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P ונביט במטריצה [math]\displaystyle{ Q = P^{-1}AP }[/math]

• נסמן [math]\displaystyle{ k=|E| }[/math]. נסמן ב[math]\displaystyle{ Q_k }[/math] את המטריצה המתקבלת מ Q על ידי מחיקת k השורות הראשונות וk העמודות הראשונות.

• לפי אינדוקציה, ניתן לשלש את המטריצה [math]\displaystyle{ Q_k }[/math] על ידי המטריצה [math]\displaystyle{ P_1 }[/math].

• נסמן [math]\displaystyle{ Q_1=I_k\oplus P_1 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ I_k }[/math] הינה מטריצה היחידה מגודל k.

• סה"כ [math]\displaystyle{ Q_1^{-1}P^{-1}APQ_1 }[/math] הינה מטריצה משולשית