תרגיל 1.8
יהיה ממ"פ ממימד . יהיו וקטורים . נגדיר את מטריצת גרהם ע"י . הוכח:
ת"ל
פתרון
נסתכל על צירוף לינארי כללי של עמודות :
זה שווה עפ"י כמו לינאריות במשתנה שני ל
זה שווה לאפס אם
טענת עזר (נוכיח אותה מיד):
לכן הגענו למסקנה ש
לכן
יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של עמודות המטריצה אם"ם יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של הוקטורים .
נובע מיידית ש עמודות ת"ל הוקטורים ת"ל
מ.ש.ל
הוכחת טענת העזר
נניח
אזי גם
ולכן גם הסכום שלהם שווה אפס
ולפי לינאריות במשתנה ראשון זה שווה
אבל הסכום בשני הצדדים הוא אותו סכום בדיוק! נסמן ולכן וזה נכון רק אם כלומר
בכיוון ההפוך, נניח לכן ברור ש לכל וקטור , ולכן