משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות
לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת
הוכחה
ראשית, נזכר בלמה של קנטור. יהי אוסף של קטעים סגורים כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר מונוטונית לא-יורדת, ו- מונוטונית לא-עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף ל- , כלומר .
אזי קיימת נקודה יחידה השייכת לכל הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות .)
נביט כעת בסדרה חסומה (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיון שבסדרה ישנם אינסוף איברים, הקטע מכיל אינסוף איברים מהסדרה.
נביט כעת בשני חצאי הקטע . בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף איברים מהסדרה (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב- . נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף איברים.
אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים המקיימת את התכונות הבאות:
- כל קטע מכיל אינסוף איברים מהסדרה
- כל קטע מוכל בקודמו
- אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיון שאורך הקטע הראשון הנו אורך הקטע שווה ל- . ברור שאורך הקטעים שואף ל- לכן-
לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל בכל הקטעים הללו, נקרא לה . נוכיח כי הנה גבול חלקי של ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי הנו קיום תת-סדרה השואפת אליו).
- יהי , רוצים להוכיח כי בסביבת של ישנם אינסוף איברים מהסדרה.
- כיון שאורך הקטעים שבנינו שואפים ל- , יש קטע שאורכו קטן מ- .
- לפי ההגדרה של מהלמה של קנטור, מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.
- לכן בוודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת של .
- אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף איברים מהסדרה בסביבת של .
כפי שרצינו להוכיח.