משפט בולצאנו-ויירשטראס

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות

לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת

הוכחה

ראשית, נזכר בלמה של קנטור. יהי \{I_n\} אוסף של קטעים סגורים I_n=[a_n,b_n] כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר a_n מונוטונית לא-יורדת, ו- b_n מונוטונית לא-עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף ל- 0 , כלומר \lim\limits_{n\to\infty}\Big[b_n-a_n\Big]=0 .

אזי קיימת נקודה יחידה השייכת לכל הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות a_n,b_n)


נביט כעת בסדרה חסומה -M\le a_n\le M (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיון שבסדרה ישנם אינסוף אברים, הקטע I_1:=[-M,M] מכיל אינסוף אברים מהסדרה.

נביט כעת בשני חצאי הקטע [-M,0],[0,M] . בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף אברים מהסדרה (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה I_2 . נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף אברים.

אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots המקיימת את התכונות הבאות:

  • כל קטע מכיל אינסוף אברים מהסדרה a_n
  • כל קטע מוכל בקודמו
  • אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיון שאורך הקטע הראשון הנו 2M אורך הקטע I_n שווה \dfrac{M}{2^{n-2}} . ברור שאורך הקטעים שואף ל-0


לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל בכל הקטעים הללו, נקרא לה L . נוכיח כי L הנה גבול חלקי של a_n ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי הנו קיום תת-סדרה השואפת אליו).


  • יהי \varepsilon>0 . רוצים להוכיח כי בסביבת \varepsilon של L ישנם אינסוף אברים מהסדרה.
  • כיון שאורך הקטעים שבנינו שואפים ל-0, יש קטע שאורכו קטן מ- \dfrac{\varepsilon}{2} .
  • לפי ההגדרה של L מהלמה של קנטור, L מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.
  • לכן בודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת \varepsilon של L .
  • אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף אברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף אברים מהסדרה בסביבת \varepsilon של L .

\blacksquare