(המבחן )
חלק א'
1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש ל- .
היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י
(באינדוקציה -
גדולה יותר מכל שאר איברי
שגדולים יותר מכל איברי
) ולכן מתכנסת. בצורה דומה,
היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י
ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמא את ב':
דוגמא: ,
.
2) התשובה היא ב'.
הפרכה לג', ד': . ברור
אבל
.
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן
.
(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם אז
.)
פורמלית: יהי
. מתקיים
ולכן לכל
קיים
כך ש-
, כלומר כך ש-
. מש"ל.
3) ד'. או
נק'. שתי דוגמאות:
,
. באחת יש אינסוף נקודות
(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשניה נניח בשלילה שיש נקודה
בחיתוך ונתבונן במקום
, כלומר בקטע
שלא מכיל את
כלל, בסתירה.
4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר
,
אז ברור שההרכבה רציפה, שכן
והוכחנו רציפות כל הפונקציות הלינאריות.
גם וגם
אינן רציפות ב-
, ולכן זאת הפרכה ל-ג' והוכחה ל-ד'.
5) עבור מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור
הטור מתכנס (ל-
) מה שפוסל את ב'. עבור
מקבלים
, שמתבדר לפי העיבוי כי
. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור
, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג':
עולה ממש ואינה רציפה בקטע .
הוכחת ב': בשלילה, .
בסתירה לכך ש- עולה ממש, שהרי בה"כ
ולכן
בסתירה להיותם שווים.
6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8.
הוכחה: עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע.
גזירה ב
ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונ' ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת
. כעת, לפי ההנחה
גזירה ב-
ולכן
.
מכאן נקבל , בהנחה שהנגזרת שונה מ-
. לכן
ובפרט קיים. לכן הפונ' ההפוכה גזירה בנקודה
. בכיוון ההפוך, נראה את ה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של
, ולכן הנגזרת שונה מ-
(זה לא נימוק לגמרי פורמלי).
חלק ב'
7) .
זהו שיפוע המשיק.
כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה , ונקבל:
.
8) היה במערכי התרגול [[1]] עבור סכום עד . הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:
ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקציה הסדרה חסומה מלרע ע"י
(כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.
9) הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-
(המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:)
כאשר
שואף לאינסוף, אלא שואפת לאינסוף.
בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של .
קיבלנו גורם 8, גורם , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא
, (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר.
חלק ג'
10) הפרכה: ניקח ,
.
לפי לייבניץ הטור
מתכנס, וברור ש-
שואפת ל-
שכן
, אבל המכפלה
מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל:)
(נגדיר בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה)
11) נגדיר פונקצייה על-ידי
. כעת, נתבונן ב-
:
ואילו
, ולכן לפי משפט ערך הביניים ל-
יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע
.
באותו האופן, ולכן יש ל-
שורש בקטע
. כל שורש של
הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.
12 זלצמן) הוכחה:
מכיון ש- אז ניתן להגדיר את
"מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת
).
.
.
רציפה ובעלת מחזור
ולכן רציפה במ"ש ב-
ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל-
, ובפרט בקרן החיובית הסגורה
.
ידוע ש- רציפה במ"ש ב-
ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל-
, ובפרט בקרן השלילית הסגורה
.
לכן רציפה במ"ש ב-
וכמו כן ב-
. לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת (
) ולכן (לפי משפט ממערכי התרגול)
רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.
12 קליין) נגדיר פונקציה על-ידי
.
מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע
ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר
. לכן
, ומכאן ש-
. מש"ל.
12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה.