חומר עזר
סרטוני ותקציר הרצאות
פרק 1 - מבוא ללוגיקה מתמטית
פסוקים, קשרים, כמתים, פרדיקטים
תרגול
אינדוקציה
תרגול
פרק 2 - מבוא לתורת הקבוצות
קבוצות ופעולות על קבוצות
- איבר שייך לקבוצה
אם הוא אחד האיברים בקבוצה.
- קבוצה מוכלת בקבוצה אחרת
אם
- תהי קבוצה
ותהיינה
. נגדיר את:
- קבוצת האיחוד
- קבוצת החיתוך
- קבוצת ההפרש
- קבוצת המשלים
- קבוצת האיחוד
שיטות הוכחה בסיסיות
איחוד וחיתוך כלליים
- תהי S קבוצה של קבוצות, נגדיר:
קבוצת החזקה
תרגול
פרק 3 - יחסים
מכפלה קרטזית ויחסים
תכונות של יחסים
- יהי R יחס על A (כלומר
) אזי:
- R נקרא רפקסיבי אם לכל
מתקיים
.
- R נקרא סימטרי אם לכל
המקיימים
מתקיים
- R נקרא אנטי-סימטרי אם לכל
המקיימים
מתקיים
- R נקרא רפלקסיבי אם לכל
המקיימים
מתקיים
- R נקרא רפקסיבי אם לכל
- יהי R יחס מA לB (כלומר
) אזי:
- R
יחסי שקילות
תרגול
יחסי סדר
איברים מינימליים ומקסימליים, וחסמים
תרגול
פרק 4 - פונקציות
הגדרת פונקציות
חח"ע ועל, תמונה ותמונה הפוכה
הרכבת פונקציות, פונקציות הפיכות
פונקציה מוגדרת היטב
תרגול
פרק 5 - עוצמות
מבוא
השוואת עוצמות
- A שקולת עוצמה לB או עוצמתה של A שווה לB, אם קיימת פונקציה הפיכה (חח"ע ועל)
.
- במקרה זה מסמנים
או
.
- כל קבוצה שקולת עוצמה לעצמה
- אם A שקולת עוצמה לB, גם B שקולת עוצמה לA
- אם A שקולת עוצמה לB וB שקולת עוצמה לC אזי A שקולת עוצמה לC
- עוצמתה של A קטנה או שווה לזו של B, אם קיימת פונקציה חח"ע
.
- במקרה זה מסמנים
- כל קבוצה A השקולת עוצמה לקבוצת הטבעיים מסומנת
- כל קבוצה A השקולת עוצמה לקבוצת הממשיים מסומנת
משפט קנטור
קבוצות בנות מנייה
- קבוצה A נקראת בת מנייה אם
- כל קבוצה A בת מנייה אינסופית מקיימת
חשבון עוצמות (אריתמטיקה של עוצמות)
חיבור עוצמות
- תהיינה שתי עוצמות a,b ותהיינה שתי נציגות זרות לעוצמות A,B.
- נגדיר
, הגדרה זו אינה תלוייה בבחירת הנציגות.
כפל עוצמות
- תהיינה שתי עוצמות a,b ותהיינה שתי נציגות לעוצמות A,B.
- נגדיר
, הגדרה זו אינה תלוייה בבחירת הנציגות.
חזקת עוצמות
- תהיינה שתי עוצמות a,b ותהיינה שתי נציגות לעוצמות A,B.
- נגדיר את
להיות אוסף כל הפונקציות מB לA (מהמעריך לבסיס).
- נגדיר
, הגדרה זו אינה תלוייה בבחירת הנציגות.
- חוקי חזקות
- תהיינה עוצמות a,b,c אזי
עוצמת קבוצת החזקה
השוואת חשבון עוצמות
- תהיינה עוצמות a,b,c,d כך ש
וכן
אזי:
- אם בנוסף נתון כי
אזי
משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין
- אם
וגם
אזי
למת נקודת השבת
- תהי פונקציה עולה
כלומר המקיימת לכל
כי
- אזי קיימת נק' שבת
כך ש
.
הוכחת המשפט
עוצמות קטעים ממשיים
איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה
- תהי S קבוצה בת מנייה של קבוצות בנות מנייה, כלומר:
- אזי גם האיחוד הכללי הוא בן מנייה:
- מסקנה: אוסף תתי הקבוצות הסופיות של המספרים הטבעיים הוא בן מנייה.
אקסיומת הבחירה ועקרון המקסימום של האוסדורף
אקסיומת הבחירה
- תהי S קבוצת קבוצת לא ריקות, ונסמן את האיחוד הכללי ב
.
- אזי קיימת פונקצית בחירה
הבוחרת איבר מתוך כל קבוצה, כלומר:
- דוגמא:
- תהי פונקציה על
אזי קיימת תת קבוצה
כך ש
חח"ע ועל.
- תהי פונקציה על
- תהיינה
אזי
אם ורק אם קיימת
על.
עקרון המקסימום של האוסדורף
- תהי קבוצה A עם יחס סדר חלקי, תת קבוצה
נקראת שרשרת אם היחס מלא עליה (ניתן להשוות בין כל שני איברים בS).
- שרשרת נקראת מקסימלית בA אם היא אינה מוכלת באף שרשרת אחרת.
- עקרון המקסימום של האוסדורף אומר שכל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית.
- דוגמא - אוסף עיגולים במישור שאינם חותכים זה את זה, ולא ניתן להוסיף אפילו עיגול אחד נוסף.
אלף אפס היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר
(בהנחת עקרון המקסימום של האוסדורף)
- תהי A קבוצה אינסופית, אזי
- תהי A קבוצה אינסופית, ותהי B קבוצה סופית, אזי:
השוואת עוצמות
(בהנחת עיקרון המקסימום של האוסדורף)
- תהיינה שתי קבוצות A,B אזי
או
סכום ומכפלה של עוצמות אינסופיות שווה לגדולה מבין העוצמות
- תהיינה עוצמות
אזי:
- נניח בנוסף כי
אזי:
- נניח בנוסף כי b אינסופית, ונקבל ביחד
(המעבר
מוכח בסרטון השני).
- ולכן לפי משפט ק.ש.ב נקבל כי
- תהי עוצמה אינסופית b אזי
הקשר בין עוצמת הטבעיים לעוצמת הממשיים
כלומר