האינטגרל לפי דרבו (המשך)
משפט 8
נניח ש-f מוגדרת וחסומה בקטע ונניח ש-
. אזי f אינטגרבילית ב-
וב-
אם"ם היא אינטגרבילית ב-
, ואם כן מתקיים
.
הוכחה
: נתונה f אינטגרבילית ב-
וב-
. נקח חלוקה כלשהי P של
וחלוקה Q של
ונגדיר
(כלומר R חלוקה של
). לכן מתקיים
. נשאיף
. לפי הנתון
וגם
, לכן
. באותו אופן נקבל
. הראנו ש-
ולכן f אינטגרבילית ב-
. ע"פ משפט 4 נסיק
.
: נבחר חלוקות P,Q,R כמו בחלק הקודם, ושוב
ו-
. נחסיר ונקבל:
. כעת, אם
, האינטגרביליות של f על
גוררת שעבור
ו-
מספיק קטנים
. קיום חלוקה P כזאת לכל
מוכיח ש-f אינטגרבילית ב-
וקיום חלוקה Q - ב-
. השיוויון
נובע מהחלק הקודם.
הכללה
אם ואם f אינטגרבילית ב-
אז
. ההוכחה באינדוקציה.
מוסכמות:
-
- אם
ואם f אינטגרבילית ב-
נרשום
(אלה מוסכמות ולא אקסיומות כי באופן שבו הגדרנו את האינטגרל עד עכשיו, לא מוגדר עבור
)
עם מוסכמות אלה יתקיים:
באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c. למשל, אם
אז לפי משפט 8
. נבדוק:
ולכן
, מה שנכון כי
.
משפט 9
תהי מוגדרת וחסומה ב-
. עוד נניח ש-f רציפה ב-
. אזי f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה
יהי נתון. נגדיר
.
גרף (1)
לפי הנתון f רציפה ב-. לפי משפט 6 היא אינטגרבילית ב-
, לכן נוכל לבחור חלוקה P של
כך ש-
. כעת גדיר חלוקה Q של
ע"י
. עוד נגדיר
וכן
. נובע ש-
. נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב-
.
מסקנה 1
המשפט נכון אם f חסומה ורציפה ב-.
מסקנה 2
נניח ש-f חסומה ב- ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות
כך ש-
אזי f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה
עבור כל k נקבל ש-f חסומה ב- ורציפה ב-
. לפי מסקנה 1, f אינטגרבילית ב-
. נסתמך על מסקנה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב-
.
הגדרה: אומרים ש-f "רציפה למקוטעין" ב- אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון.
גרף (2)
נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב- אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם f מוגדרת ו"מונוטונית למקוטעין" ב-
אז היא אינטגרבילית שם.
האינטגרל לפי רימן
הקדמה - הגישה של רימן
נניח ש-f מוגדרת וחסומה ב-. נבחר חלוקה P של
:
. עוד נבחר מספרים
ונכנה כ-P' את התת חלוקה
. ז"א
. בהתאם לכך נבנה סכום רימן
כאשר לכל k מתקיים
.
גרף (3)
מקרב את השטח שמתחת לגרף, ולא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לשטח שמתחת לגרף.
נעיר שעל חלוקה אחת P של אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן
. עם זאת, יתקיים תמיד
. יתר על כן,
ו-
.
הגדרת רימן: תהי f מוגדרת וחסומה ב-. נאמר ש-f אינטגרבילית ב-
אם כאשר
כל סכומי רימן
שואפים לגבול אחד, שיסומן
.
משפט 10
תהי f מוגדרת וחסומה ב-. אזי f אינטגרבילית שם לפי רימן אם"ם f אינטגרבילית שם לפי דרבו, ואם כן אז
(לפי רימן)
(לפי דרבו).
הוכחה
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה P' של :
. כעת נשאיף
. כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו,
וכן
לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש-
קיים ושווה ל-
. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים
.
לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים . אם כן הוא גם שווה ל-
,ובאופן דומה עבור אינטגרל תחתון (לפי דרבו, כמובן). מצאנו
. עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם מצאנו:
.
משפט 11 (תכונות האינטגרל)
נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-[a,b], ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי:
- (לינאריות):
אינטגרבילית ב-[a,b] ומתקיים
.
- (מונוטוניות): אם
לכל
אז
. (חיוביות): בפרט, אם
אז
.
- (הכללה לאי-שיוויון המשולש): אם f אינטגרבילית ב-
אז
.
- אם
ב-
אז
ואם
בקטע זה אז אז
.
- אם
(פונקציה קבועה) אז
.
הוכחה
. נשאיף
. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א
. עצם קיום הגבול אומר ש-
אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק
.
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
- נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g:
. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל-
. נשאיף
. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק
.
- נעיר ש-
היא בעצם
. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-
. לכן
. כעת תהי P חלוקה כלשהי של
.
. נעיר שלכל f,
היא התנודה של f בקטע
ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של |f| באותו קטע:
כעת נוכיח ש-|f| אינטגרבילית. לצורך זה יהינתון. כיוון ש-f אינטגרבילית (נתון) קיימת חלוקה P של
כך ש-
ונובע ממשפט 5 ש-|f| אינטגרבילית. נותר להוכיח את אי-השיוויון
. לפי אי-שיוויון המשולש, לכל סכום רימן של f מתקיים
. נשאיף
ונקבל ש-
.
- נתון
. לפי משפט 1, לכל חלוקה P של
מתקיים
. נשאיף את
כדי להסיק
. אם נתון
אז נוכל להסתמך על סעיף 3 ומה שהוכחנו הרגע לומר
.
- לפי הנתון
. לכן, עפ"י סעיף 4
ויש שיוויון.