הפולינום האופייני

הגדרה

תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] מטריצה ריבועית, אזי הפולינום האופייני שלה מוגדר להיות:

[math]\displaystyle{ f_A(x):=|xI-A| }[/math]

קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה [math]\displaystyle{ x }[/math] .

קשר בין פולינום אופייני לע"ע

כל התנאים הבאים שקולים:

• [math]\displaystyle{ x }[/math] הנו ע"ע של המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math]

לפי ההגדרה:

• קיים [math]\displaystyle{ v\ne0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ Av=xv }[/math]

מעבר אגפים:

• קיים [math]\displaystyle{ v\ne0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ Av-xv=0 }[/math]

(דיסטריבוטיביות של כפל מטריצות:)

• קיים [math]\displaystyle{ v\ne0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ (A-xI)v=0 }[/math]

לפי ההגדרה:

• קיים פתרון לא־טריוויאלי במרחב האפס [math]\displaystyle{ N(A-xI) }[/math]

משפט מלינארית 1:

• המטריצה [math]\displaystyle{ A-xI }[/math] אינה הפיכה

משפט מלינארית 1:

• [math]\displaystyle{ |A-xI|=0 }[/math]

לפי הגדרה:

• [math]\displaystyle{ f_A(x)=0 }[/math]

משפט

[math]\displaystyle{ x }[/math] הנו ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ x }[/math] הנו שורש של הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ A }[/math] .