נוספו 3,570 בתים,
17:12, 20 בדצמבר 2012 == שאלה 1 ==
השאלה הזו לוקחת אותנו קצת אחורה בחומר, אבל היא חשובה מאוד.
תהי <math>E \subseteq \mathbb R</math>. הוכיחו כי התנאים הבאים שקולים:
(1) <math>E</math> מדידה לבג.
(2) לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת קבוצה <math>O \supseteq E</math>, פתוחה ב-<math>\mathbb R</math>, עבורה <math>m^* \left( O \setminus E \right) < \varepsilon</math>
(3) לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת קבוצה <math>S \subseteq E</math>, סגורה ב-<math>\mathbb R</math>, עבורה <math>m^* \left( E \setminus S \right) < \varepsilon</math>
(4) קיימת קבוצה <math>G \in G_\delta</math>, כך ש-<math>G \supseteq E</math>, וגם <math>m^*(G \setminus E)=0</math>
(5) קיימת קבוצה <math>F \in F_\sigma</math>, כך ש-<math>F \subseteq E</math> וגם <math>m^*(E \setminus F)=0</math>
'''הדרכה:'''
א. הניחו תחילה כי <math>m^* (E)<\infty</math>, והוכיחו <math>(1) \implies (2)</math>
ב. ע"פ א' הראו כי לכל קבוצה <math>E</math> מתקיים <math>(1) \implies (2) \implies (4) \implies (1)</math> (אפילו אם <math>m^*(E)=\infty</math>).
בשביל להראות <math>(4) \implies (1)</math> כדאי לזכור שקבוצות מטיפוס <math>G_\delta</math> הן מדידות לבג (וגם כמובן קבוצות עם מידת לבג חיצונית 0).
ג. ע"פ ב' הראו כי לכל קבוצה <math>E</math> מתקיים <math>(1) \implies (3) \implies (5) \implies (1)</math>.
בשביל הגרירה <math>(5) \implies (1)</math> כדאי לזכור שקבוצות מטיפוס <math>F_\sigma</math> מדידות לבג (ושוב, כמובן שגם קבוצות עם מידת לבג חיצונית 0).
== שאלה 2 ==
א. בתרגול הראינו שאם <math>I=[a,b]</math> קטע סגור וחסום, אזי מרחב הפונקציות הרציפות בו בהחלט, <math>\text{AC} \left( \left[ a,b \right] \right) </math>, סגור ביחס לכפל בסקלר, חיבור פונקציות וכפל פונקציות.
מה ניתן לומר על המרחב <math>\text{AC} \left( I \right)</math> אם <math>I</math> קטע לא חסום? הוכיחו את דבריכם!
ב. יהי <math>I \subseteq \mathbb R</math> קטע כלשהו, <math>f:I \to \mathbb R</math> ממחלקה <math>C^1 (I)</math> (גזירה ברציפות בקטע). האם <math>f \in \text{AC} (I)</math>?
ג. הוכיחו ע"י שלילת ההגדרה (ורק ע"י שלילת ההגדרה!) כי פונקציות קנטור אינה רציפה בהחלט בקטע <math>[0,1]</math>.
'''רמז:''' אם בוחרים את הקטעים <math>\{ (a_k,b_k) \}</math> בחכמה, זה פשוט.
== שאלה 3 ==
כזכור אם <math>f</math> פונקציה ממשית, ומוגדרת בסביבת הנקודה <math>x</math>, הנגזרת הסימטרית שלה שם מוגדרת ע"י <math>f'_{\text{sym}}(x):=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}</math>
(אם הגבול קיים כמובן).
א. הוכיחו כי אם <math>f</math> גזירה בנקודה כלשהי <math>x \in \mathbb{R}</math>, אזי הנגזרת הסימטרית קיימת בנקודה זו, ומתקיים <math>f'_\text{sym}(x)=f'(x)</math>.
ב. תנו דוגמא למצב שבו <math>f</math> לא גזירה בנקודה כלשהי <math>x</math> - ובכל זאת קיימת <math>f'_\text{sym}(x)</math>.
בהצלחה!
'''זוהי עוד לא גרסה סופית של השאלות!'''