88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 7

שאלה 1

השאלה הזו לוקחת אותנו קצת אחורה בחומר, אבל היא חשובה מאוד.

תהי $E \subseteq \mathbb R$. הוכיחו כי התנאים הבאים שקולים:

(1) $E$ מדידה לבג.

(2) לכל $\varepsilon>0$ קיימת קבוצה $O \supseteq E$, פתוחה ב-$\mathbb R$, עבורה $m^* \left( O \setminus E \right) < \varepsilon$

(3) לכל $\varepsilon>0$ קיימת קבוצה $S \subseteq E$, סגורה ב-$\mathbb R$, עבורה $m^* \left( E \setminus S \right) < \varepsilon$

(4) קיימת קבוצה $G \in G_\delta$, כך ש-$G \supseteq E$, וגם $m^*(G \setminus E)=0$

(5) קיימת קבוצה $F \in F_\sigma$, כך ש-$F \subseteq E$ וגם $m^*(E \setminus F)=0$

הדרכה:

א. הניחו תחילה כי $m^* (E)<\infty$, והוכיחו $(1) \implies (2)$

ב. ע"פ א' הראו כי לכל קבוצה $E$ מתקיים $(1) \implies (2) \implies (4) \implies (1)$ (אפילו אם $m^*(E)=\infty$).

בשביל להראות $(4) \implies (1)$ כדאי לזכור שקבוצות מטיפוס $G_\delta$ הן מדידות לבג (וגם כמובן קבוצות עם מידת לבג חיצונית 0).

ג. ע"פ ב' הראו כי לכל קבוצה $E$ מתקיים $(1) \implies (3) \implies (5) \implies (1)$.

בשביל הגרירה $(5) \implies (1)$ כדאי לזכור שקבוצות מטיפוס $F_\sigma$ מדידות לבג (ושוב, כמובן שגם קבוצות עם מידת לבג חיצונית 0).

שאלה 2

א. בתרגול הראינו שאם $I=[a,b]$ קטע סגור וחסום, אזי מרחב הפונקציות הרציפות בו בהחלט, $\text{AC} \left( \left[ a,b \right] \right)$, סגור ביחס לכפל בסקלר, חיבור פונקציות וכפל פונקציות.

מה ניתן לומר על המרחב $\text{AC} \left( I \right)$ אם $I$ קטע לא חסום? הוכיחו את דבריכם!

ב. יהי $I \subseteq \mathbb R$ קטע כלשהו, $f:I \to \mathbb R$ ממחלקה $C^1 (I)$ (גזירה ברציפות בקטע). האם $f \in \text{AC} (I)$?

ג. הוכיחו ע"י שלילת ההגדרה (ורק ע"י שלילת ההגדרה!) כי פונקציות קנטור אינה רציפה בהחלט בקטע $[0,1]$.

רמז: אם בוחרים את הקטעים $\{ (a_k,b_k) \}$ בחכמה, זה פשוט.

שאלה 3

כזכור אם $f$ פונקציה ממשית, ומוגדרת בסביבת הנקודה $x$, הנגזרת הסימטרית שלה שם מוגדרת ע"י $f'_{\text{sym}}(x):=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$ (אם הגבול קיים כמובן).

א. הוכיחו כי אם $f$ גזירה בנקודה כלשהי $x \in \mathbb{R}$, אזי הנגזרת הסימטרית קיימת בנקודה זו, ומתקיים $f'_\text{sym}(x)=f'(x)$.

ב. תנו דוגמא למצב שבו $f$ לא גזירה בנקודה כלשהי $x$ - ובכל זאת קיימת $f'_\text{sym}(x)$.

בהצלחה!

שאלה 4

א. יהי $I=[a,b] \subset \mathbb{R}$ קטע סגור וחסום, ותהי $f:[a,b] \to (0,\infty)$ פונקציה רציפה בהחלט וחיובית ממש. הוכיחו כי $\frac{1}{f} \in \text{AC} ([a,b])$.

ב. האם סעיף א' נשאר נכון אם מדובר בקטע פתוח?

בהצלחה!