נוספו 10,590 בתים,
00:52, 9 בדצמבר 2009 =תרגיל 4=
*שימו לב - זה לא פתרון רשמי של ארז, אלא הפתרון שלי לתרגיל. --[[משתמש:Ohad Abarbanel|Ohad Abarbanel]] 11:48, 8 בדצמבר 2009 (UTC)
==שאלה 1==
הטענה לא נכונה. דוגמה נגדית:
<math>A=\left[ \begin{matrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{matrix} \right],B=\left[ \begin{matrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{matrix} \right]</math>
<math>\begin{align}
& P_{A}(t)=(t-2)^{7}=P_{B}(t) \\
& m_{A}(t)=(t-2)^{3}=m_{B}(t) \\
\end{align}</math>
הריבוי הגיאומטרי של 2 בשתי המטריצות הוא 3.
המטריצות לא דומות כיוון שצורת הז'ורדן שלהן (הן עצמן) שונות.
==שאלה 2==
===סעיף א'===
<math>\begin{align}
& 1)\left[ \begin{matrix}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\
\end{matrix} \right]\quad 2)\left[ \begin{matrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\
\end{matrix} \right]\quad 3)\left[ \begin{matrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\
\end{matrix} \right] \\
& 4)\left[ \begin{matrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\
\end{matrix} \right]\quad 5)\left[ \begin{matrix}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\
\end{matrix} \right]\quad 6)\left[ \begin{matrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\
\end{matrix} \right] \\
\end{align}</math>
===סעיף ב'===
<math>\begin{align}
& 1)\ m_{A}(t)=(t-2)(t-5) \\
& 2)\ m_{A}(t)=(t-2)^{2}(t-5) \\
& 3)\ m_{A}(t)=(t-2)^{3}(t-5) \\
& 4)\ m_{A}(t)=(t-2)^{3}(t-5)^{2} \\
& 5)\ m_{A}(t)=(t-2)(t-5)^{2} \\
& 6)\ m_{A}(t)=(t-2)^{2}(t-5)^{2} \\
\end{align}</math>
===סעיף ג'===
<math>\begin{align}
& 1)\ m_{2}=3,\ m_{5}=2 \\
& 2)\ m_{2}=2,\ m_{5}=2 \\
& 3)\ m_{2}=1,\ m_{5}=2 \\
& 4)\ m_{2}=1,\ m_{5}=1 \\
& 5)\ m_{2}=3,\ m_{5}=1 \\
& 6)\ m_{2}=2,\ m_{5}=1 \\
\end{align}</math>
==שאלה 3==
===סעיף א'===
A משולשית, לכן אברי האלכסון הם הע"ע של A כולל הריבוי האלגברי, לכן
<math>P_{A}(t)=t^{2}(t-1)^{2}</math>.
נמצא את הפולינום המינימלי:
נבדוק את
<math>A(A-I)</math>:
<math>\left[ \begin{matrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
0 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
0 & 0 & 7 & 12 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{matrix} \right]\ne 0</math>
נבדוק את
<math>A(A-I)^{2}</math>:
<math>\left[ \begin{matrix}
0 & 0 & 7 & 12 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
0 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{matrix} \right]\ne 0</math>
האפשרות היחידה שנותרה היא
<math>A^{2}(A-I)^{2}</math>
לכן הפולינום המינימלי הוא
<math>m_{A}(t)=t^{2}(t-1)^{2}</math>, לכן מטריצת הז'ורדן של A היא:
<math>\left[ \begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{matrix} \right]</math>
===סעיף ב'===
<math>I-A=\left[ \begin{matrix}
0 & -2 & -3 & -4 \\
0 & 1 & -2 & -3 \\
0 & 0 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right]</math>
נניח שהפולינום המינימלי של I-A הוא ממעלה הקטנה מ-4, כלומר קיים
<math>f(t)=at^{3}+bt^{2}+ct+d</math>
כך ש
<math>f(I-A)=0</math>, כלומר:
<math>a(I-A)^{3}+b(I-A)^{2}+c(I-A)+dI=0</math>
אם נפתח סוגריים נקבל פולינום ממעלה הקטנה מ-4 המאפס את A, וזוהי סתירה למינימליות של הפולינום המינימלי שמצאנו ב-א', לכן הפולינום המינימלי של I-A הוא ממעלה 4, והאפשרות היחידה היא
<math>m_{I-A}(t)=t^{2}(t-1)^{2}</math>, לכן מטריצת הז'ורדן של I-A היא:
<math>\left[ \begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{matrix} \right]</math>
צורות הז'ורדן של A ושל I-A שוות לכן
<math>A\sim I-A</math>.
==שאלה 4==
נמצא את
<math>P_{A}(t)</math>:
<math>\begin{align}
& P_{A}(t)=\left| tI-A \right|=\left| \begin{matrix}
t-7 & 2 & 6 \\
-6 & t+1 & 6 \\
-3 & 1 & t+2 \\
\end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix}
t-7 & 2 & 6 \\
1-t & t-1 & 0 \\
-3 & 1 & t+2 \\
\end{matrix} \right|=-(1-t)(2t+4-6)+(t-1)((t-7)(t+2)+18)= \\
& =(t-1)(2t-2)+(t-1)(t^{2}-5t+4)=(t-1)(t^{2}-3t+2)=(t-1)(t-1)(t-2)=(t-1)^{2}(t-2) \\
\end{align}</math>
נמצא את
<math>m_{A}(t)</math>:
נבדוק את
<math>(A-I)(A-2I)</math>:
<math>(A-I)(A-2I)=\left[ \begin{matrix}
6 & -2 & -6 \\
6 & -2 & -6 \\
3 & -1 & -3 \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
5 & -2 & -6 \\
6 & -3 & -6 \\
3 & -1 & -4 \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{matrix} \right]</math>
לכן הפולינום המינימלי הוא
<math>m_{A}(t)=(t-1)(t-2)</math>.
נבדוק האם
<math>m_{B}(t)=m_{A}(t)=(t-1)(t-2)</math>:
<math>(B-I)(B-2I)=\left[ \begin{matrix}
-3 & -3 & 2 \\
-1 & 1 & 0 \\
-6 & -3 & 3 \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
-4 & -3 & 2 \\
-1 & 0 & 0 \\
-6 & -3 & 2 \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
3 & 3 & -2 \\
3 & 3 & -2 \\
9 & 9 & -6 \\
\end{matrix} \right]\ne 0</math>
מצאנו ש
<math>m_{A}(t)\ne m_{B}(t)</math>
לכן בהכרח A לא דומה ל-B.
==שאלה 5==
===חלק ראשון - שאלה 1===
====סעיף א'====
לפי המשפט היסודי של האלגברה לכל פולינום ממעלה n יש n שורשים מרוכבים, לכן
<math>P_{A}(t)</math>
מתפרק לגורמים לינאריים מעל
<math>\mathbb{C}</math>.
לפי משפט השילוש קיימת מטריצה B משולשת כך ש
<math>A\sim B</math>, כלומר קיימת מטריצה P הפיכה כך ש
<math>A=P^{-1}BP</math>, לכן מתקיים:
<math>\left| A \right|=\left| P^{-1}BP \right|=\left| P^{-1} \right|\left| B \right|\left| P \right|=\left| P \right|^{-1}\left| P \right|\left| B \right|=\left| B \right|</math>
על אלכסון המטריצה B נמצאים הערכים העצמיים של A, ו-B משולשית לכן
<math>\left| B \right|</math>
שווה למכפלת אברי האלכסון שהיא מכפלת הערכים העצמיים של A.
<math>\left| A \right|=\left| B \right|</math>
לכן
<math>\left| A \right|</math>
היא מכפלת הערכים העצמיים של A.
====סעיף ב'====
נניח בשלילה שקיימת
<math>A\in \mathbb{R}^{3\times 3}</math>
כך ש
<math>A^{2}=-I_{3}</math>.
ל-A יש 3 ערכים עצמיים (לא בהכרח שונים). נסמנם
<math>\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in \mathbb{R}</math>.
<math>A\in \mathbb{C}^{3\times 3}\Leftarrow \mathbb{R}^{3\times 3}\subset \mathbb{C}^{3\times 3}\Leftarrow \mathbb{R}\subset \mathbb{C}</math>
לכן לפי א'
<math>\left| A \right|=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \lambda _{3}</math>.
לפי ההנחה,
<math>A^{2}=-I_{3}</math>, לכן:
<math>\left| A^{2} \right|=\left| -I_{3} \right|\Rightarrow \left| A \right|^{2}=(-1)^{3}\left| I_{3} \right|\Rightarrow \lambda _{1}^{2}\cdot \lambda _{2}^{2}\cdot \lambda _{3}^{2}=-1</math>
מכיוון ש
<math>\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in \mathbb{R}</math>,
מתקיים
<math>\lambda _{1}^{2},\lambda _{2}^{2},\lambda _{3}^{2}\ge 0</math>
לכן גם
<math>\lambda _{1}^{2}\cdot \lambda _{2}^{2}\cdot \lambda _{3}^{2}\ge 0</math>
וזו סתירה לכך ש
<math>\lambda _{1}^{2}\cdot \lambda _{2}^{2}\cdot \lambda _{3}^{2}=-1</math>,
לכן לא קיימת
<math>A\in \mathbb{R}^{3\times 3}</math>
כך ש
<math>A^{2}=-I_{3}</math>.
===חלק שני - שאלה 5===
====סעיף א'====
ריבוי אלגברי של ע"ע
<math>\lambda </math> הוא המספר הגדול ביותר
<math>k_{\lambda }</math> כך ש
<math>P_{A}(t)=(t-\lambda )^{k_{\lambda }}g(t)</math>.
ריבוי גיאומטרי של ע"ע <math>\lambda </math> הוא
<math>\dim(v_{\lambda })</math> כאשר
<math>v_{\lambda }=\left\{ v\in V|Av=\lambda v \right\}</math>.
====סעיף ב'====
נמצא את
<math>P_{A}(t)</math>:
<math>P_{A}(t)=\left| tI-A \right|=\left| \begin{matrix}
t-2 & -2 & 1 \\
0 & t+1 & -2 \\
0 & 6 & t-6 \\
\end{matrix} \right|=(t-2)((t+1)(t-6)+12)=(t-2)(t^{2}-5t+6)=(t-2)(t-2)(t-3)=(t-2)^{2}(t-3)</math>
נמצא את הפולינום המינימלי:
נבדוק את
<math>(A-2I)(A-3I)</math>:
<math>(A-2I)(A-3I)=\left[ \begin{matrix}
0 & 2 & -1 \\
0 & -3 & 2 \\
0 & -6 & 4 \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
- & 2 & -1 \\
0 & -4 & 2 \\
0 & -6 & 3 \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
0 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{matrix} \right]\ne 0</math>
האפשרות היחידה שנותרה לפולינום המינימלי היא
<math>m_{A}(t)=(t-2)^{2}(t-3)</math>.
לפי משפט בלוק הז'ורדן הגדול ביותר של 2 במטריצת הז'ורדן של A הוא בגודל 2 ובלוק הז'ורדן הגדול ביותר של 3 הוא 1, לכן מטריצת הז'ורדן של A היא:
<math>\left[ \begin{matrix}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{matrix} \right]</math>