משפט 10

הוכחה

לכל N מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1} S_n(b_n-b_{n-1})+S_Nb_N }[/math]. נשאיף [math]\displaystyle{ N\to\infty }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \lim_{N\to\infty} \underbrace{S_N}_\text{bounded}\underbrace{b_N}_{\to0}=0 }[/math]. נותר להוכיח ש-[math]\displaystyle{ \lim_{n=1}^\infty s_n(b_n-b_{n-1}) }[/math] מתכנס, ונעשה זאת ע"י כך שנראה שהוא מתכנס בהחלט. נסמן c כ-1 אם [math]\displaystyle{ \{b_n\}/math\gt יורדת ו-\lt math\gt -1 }[/math] אחרת: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty |S_n||b_n-b_{n+1}|\le\sum_{n=1}^\infty M(b_n-b_{n+1})|c|=|\pm1|M\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})=M(b_1-\lim_{n\to\infty}b_n})=Mb_1\in\mathbb R }[/math] כלומר הסכום מתכנס. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

הערות ודוגמאות

משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של משפט דיריכלה: נגדיר [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^{n+1} }[/math] (ולכן הסכומים החלקיים חסומים) ולכן עבור [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונוטונית יורדת שואפת לאפס מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{n=1^\infty a_n b_n }[/math], שהוא טור לייבניץ, הטור מתכנס.
נניח ש-[math]\displaystyle{ \{b_n\} }[/math] יורדת לאפס ונראה שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\cos(n)b_n }[/math] מתכנס. נגדיר [math]\displaystyle{ a_n=\cos(n) }[/math] ולכן מספיק להראות שהסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^N a_n }[/math] חסומים. נסתמך על זהות טריגונומטרית האומרת ש-[math]\displaystyle{ \cos(\alpha)\sin(\beta)=\frac12\sin(\alpha+\beta)-\frac12\sin(\alpha-\beta) }[/math]. לפי זה לכל n מתקיים [math]\displaystyle{ \cos(n)\sin\left(\frac12\right)=\frac12\sin(n+1/2)-\frac12\sin(n-1/2) }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\cos(n)=\frac1{\sin(1/2)}\sum_{n=1}^\infty\frac12(\sin(n+1/2)-\sin(n-1/2))=\frac12\frac{\sin(N+1/2)}{\sin(1/2)}-\frac12\le\frac12\frac1{\sin(1/2)}+\frac12 }[/math].

תזכורת: עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math]. כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה: [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f }[/math]. כאשר f אינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ (-\infty,b] }[/math] מגדירים [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^b f }[/math] ואפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.

הגדרה: תהי f מוגדרת בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]. נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. למשל אם f רציפה למקוטעין ב-[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] אז היא אינטגרבילית מקומית.

הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty f }[/math] להיות [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f }[/math] בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}\infty f }[/math] מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר [math]\displaystyle{ b\gt a }[/math] ונבדוק:

שני האינטגרלים [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f }[/math] מתכנסים. אבל עפ"י משפט 2 [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \int\limits_b^\infty f }[/math] מתכנס. באותו אופן [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^a f }[/math] מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f }[/math] אז הם שווים ל-[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f }[/math]. ובכן עפ"י משפט 2 [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f }[/math]. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.

אינטגרל לא אמיתי מסוג שני

מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.

הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-[math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math] f אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [c,b] }[/math] (למשל אם f רציפה למקוטעין ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]).

אז נגדיר [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\lim_{R\to a^+}\int\limits_R^b f }[/math] אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]. אם אין גבול אומרים ש-[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתבדר.

דוגמאות

נקח [math]\displaystyle{ p\gt 0 }[/math] ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי [math]\displaystyle{ \int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p} }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ p=1 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x\to R^+}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty }[/math] והאינטגרל מתבדר. עבור [math]\displaystyle{ p\ne1 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}[\frac{x^{-p+1}}{x^{-p+1}}]_{x\to R^+}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p\lt 1\\\infty&\text{else} }[/math].
[math]\displaystyle{ \int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2} }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ y=\ln(x) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x }[/math] לקבל [math]\displaystyle{ \lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^\frac12\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)} }[/math] כלומר מתכנס.
דרך קצרה: [math]\displaystyle{ \int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_0^1=2 }[/math].

לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.

הנחה קבועה: נניח ש-f ו-g אינטגרביליות מקומית בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math].

משפט 1

אם f ו-g אינטגרביליות ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] ואם c קבוע אז [math]\displaystyle{ f+cg }[/math] אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^bf+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g }[/math].

משפט 2

עבור [math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math] f אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] אם"ם היא אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ (a,c] }[/math] ואם כן [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+c\int\limits_c^b f }[/math].

משפט 3

תהי F מוגדרת ומונוטונית בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+} F(x) }[/math] קיים אם"ם F חסומה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math].

מסקנה

עבור [math]\displaystyle{ f(x)\ge0 }[/math] האינטגרל [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_c^b f }[/math] חבומים כאשר [math]\displaystyle{ c\to a+ }[/math].

משפט 4 (מבחן ההשוואה)

נניח שב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0\le f(x)\le g(x) }[/math].

אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b g }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס.
אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתבדר אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b g }[/math] מתבדר.