הגרסה להדפסה אינה נתמכת עוד וייתכן שיש בה שגיאות תיצוג. נא לעדכן את הסימניות בדפדפן שלך ולהשתמש בפעולת ההדפסה הרגילה של הדפדפן במקום זה.

את משפט 10 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.5.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.

אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)

תזכורת: עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math]. כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה: [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f }[/math]. כמובן שאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.

הגדרה: תהי f מוגדרת בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]. נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] אז היא אינטגרבילית מקומית.

תזכורת: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty f }[/math] להיות [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f }[/math] בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty f }[/math] מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר [math]\displaystyle{ b\gt a }[/math] ונבדוק את שתי הטענות הבאות:

שני האינטגרלים [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f }[/math] מתכנסים.
עפ"י משפט 2 [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \int\limits_b^\infty f }[/math] מתכנס. באותו אופן [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^a f }[/math] מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f }[/math] אז הם שווים ל-[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f }[/math].
ובכן עפ"י משפט 2 [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f }[/math]. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.

אינטגרל לא אמיתי, סוג II

מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.

הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-[math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math] f אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [c,b] }[/math] (למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]). לכן נגדיר [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\lim_{R\to a^+}\int\limits_R^b f }[/math] אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]. אם אין גבול אומרים ש-[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתבדר.

דוגמאות

נקח [math]\displaystyle{ p\gt 0 }[/math] ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי [math]\displaystyle{ \int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p} }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ p=1 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty }[/math] והאינטגרל מתבדר. עבור [math]\displaystyle{ p\ne1 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p\lt 1\\\infty&\text{else}\end{cases} }[/math].
[math]\displaystyle{ \int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2} }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ y=\ln(x) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x }[/math] לקבל [math]\displaystyle{ \lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^\frac12\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)} }[/math] כלומר מתכנס.
דרך כתיבה מקוצרת: [math]\displaystyle{ \int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_{x=0}^1=2 }[/math].

לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.

משפט 1

אם f ו-g אינטגרביליות ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] ואם c קבוע אז [math]\displaystyle{ f+cg }[/math] אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^bf+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g }[/math].

משפט 2

עבור [math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math] f אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] אם"ם היא אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ (a,c] }[/math] ואם כן [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f }[/math].

משפט 3

תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+} f(x) }[/math] קיים אם"ם f חסומה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math].

מסקנה

עבור f אינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f(x)\ge0 }[/math] האינטגרל [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_c^b f }[/math] חסומים כאשר [math]\displaystyle{ c\to a^+ }[/math].

משפט 4 (מבחן ההשוואה)

נניח שב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית וכן [math]\displaystyle{ 0\le f(x)\le g(x) }[/math].

אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b g }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס.
אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתבדר אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b g }[/math] מתבדר.