אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

תהי פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} }[/math] כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math] כאשר נקודת הכשל האפשרית היחידה באלגוריתם היא חוסר היכולת לפרק את הפולינום q לגורמים אי פריקים.

פרט למצב זה האלגוריתם יביא בהכרח לפתרון הבעייה.

מצב ראשון [math]\displaystyle{ deg(p)=deg(q)-1 }[/math]

אזי ניתן למצוא קבוע c כך ש [math]\displaystyle{ h=cp-q' }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ deg(h)\lt deg(q)-1 }[/math].

אז רושמים [math]\displaystyle{ \int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q} }[/math]

וממשיכים לשלב הבא:

מצב שני [math]\displaystyle{ deg(p)\lt deg(q)-1 }[/math]

אזי נפרק את q לגורמים אי פריקים:

[math]\displaystyle{ q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j} }[/math]

כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים: