88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6

קואורדינטות

נסביר את כל המושגים תוך כדי שימוש בדוגמא קבועה: [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^2, S_{\mathbb{R}^2}=\{(1,0),(0,1)\},D=\{(1,1),(1,-1)\} }[/math], מתקיים ששתי הקבוצות מהוות בסיס למרחב V.

משפט: יהא V מ"ו מעל שדה F, יהי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס ל-V ויהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] וקטור. אזי ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי לפי הבסיס B. כלומר, אם מתקיים [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_nv_n=b_1v_1+...+b_nv_n }[/math] אזי בהכרח [math]\displaystyle{ \forall i:a_i=b_i }[/math]. (קל להוכיח את זה על ידי חיסור הצד הימני של המשוואה מהצד השמאלי, מקבלים צירוף לינארי שמתאפס עם מקדמים [math]\displaystyle{ a_i-b_i }[/math].)

הגדרה: יהיו V,B וv כמו במשפט. אזי וקטור הקואורדינטות של v לפי בסיס B, מסומן [math]\displaystyle{ [v]_B\in\mathbb{F}^n }[/math] מוגדר להיות [math]\displaystyle{ [v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math] ההצגה הלינארית היחידה הקיימת לפי המשפט.

חשוב לזכור [math]\displaystyle{ [v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math]

תרגיל קל אבל חשוב הוא להראות שלכל בסיס B מתקיים ש [math]\displaystyle{ v=0 }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ [v]_B=0 }[/math].

הערה: במרחבים הוקטוריים שאנו נעבוד איתם יש בסיסים סטנדרטיים. הייחוד של הבסיסים הסטנדרטיים הוא שקל מאד לחשב קואורדינטות לפיהם. נסתכל במרחבים וקטורים ובבסיסים הסטנדרטיים שלהם:

מרחב וקטורי	בסיס סטנדרטי
[math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math]	[math]\displaystyle{ (1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1) }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{m\times n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},..., \begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},..., \begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbb{F}_n[x] }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,x,x^2,...,x^n }[/math]

דוגמא. חשב את הקואורדינטות של הוקטור [math]\displaystyle{ v=1+2x-x^2 }[/math] לפי הבסיס הסטנדרטי S של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_3[x] }[/math]. למעשה הפולינום כמעט מוצג כצירוף לינארי של איברי הבסיס:

[math]\displaystyle{ v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 = 1\cdot 1 + 2\cdot x + (-1)\cdot x^2 + 0\cdot x^3 }[/math].

לפיכך [math]\displaystyle{ [v]_S=(1,2,-1,0) }[/math].

תרגיל

יהא V מ"ו ויהי B בסיס לו. יהיו [math]\displaystyle{ u_1,...,u_k\in V }[/math] וקטורים כלשהם. הוכח:

• [math]\displaystyle{ u_1,...,u_k }[/math] בת"ל אם"ם [math]\displaystyle{ [u_1]_B,...,[u_k]_B }[/math] בת"ל
• [math]\displaystyle{ w\in span\{u_1,...,u_k\} }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ w\in span\{[u_1]_B,...,[u_k]_B\} }[/math]

נוכיח תרגיל זה בהמשך, לאחר שנלמד על העתקות לינאריות. כעת נניח שהוא נכון ונתרכז בכלי החישובי המשמעותי שקיבלנו; כל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה בכל מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math].

דוגמא

האם הפולינומים [math]\displaystyle{ 1+x^2, }[/math]