88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9

מטריצות מייצגות

הגדרה. תהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow W }[/math] העתקה לינארית, ויהיו [math]\displaystyle{ E,F }[/math] בסיסים ל[math]\displaystyle{ V,W }[/math] בהתאמה. נסמן [math]\displaystyle{ E=\{v_1,...,v_n\} }[/math]. אזי המטריצה המייצגת את T מבסיס E לבסיס F הינה המטריצה שעמודותיה הן הקואורדינטות לפי הבסיס F של התמונות של איברי הבסיס E מסמנים

[math]\displaystyle{ [T]^E_F =\begin{pmatrix} | & | & & | \\ \big[Tv_1]_F & [Tv_2]_F &\cdots &[Tv_n]_F \\ | & | & & | \\ \end{pmatrix} }[/math]

לכל וקטור [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים ש [math]\displaystyle{ [T]^E_F[v]_E=[Tv]_F }[/math]

הערה: שימו לב שאם ניקח את הוקטורים [math]\displaystyle{ Tv_1,...,Tv_n }[/math] ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל [math]\displaystyle{ [T]^E_S }[/math].

אלגוריתם למציאת מטריצה המייצגת את העתקה בין בסיסים כלשהם

יהיו מ"ו V,W והעתקה T בינהם ובסיסים E,F בדיוק כמו בהגדרה לעיל. אזי:

1. מצא את מטריצה המעבר [math]\displaystyle{ [I]^F_S }[/math] (קל, לשים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של איברי F בעמודות)
2. הפוך אותה על מנת לקבל את [math]\displaystyle{ [I]^S_F }[/math]
3. הפעל את ההעתקה T על איברי הבסיס E לקבל [math]\displaystyle{ Tv_1,...,Tv_n }[/math]
4. שים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של התמונות משלב שלוש בעמודות מטריצה [math]\displaystyle{ [T]^E_S }[/math]
5. כפול מטריצות על מנת לקבל [math]\displaystyle{ [T]^E_F=[I]^S_F[T]^E_S }[/math]

אלגוריתם למציאת העתקה מפורשת לפי תמונות איברי הבסיס בלבד

תהי T העתקה לינארית הנתונה על ידי התמונות של איברי בסיס [math]\displaystyle{ B=\{v_1,...,v_n\} }[/math]. רוצים למצוא את [math]\displaystyle{ Tv }[/math] עבור [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] וקטור כלשהו.

1. נבצע את האלגוריתם לעיל על מנת למצוא את [math]\displaystyle{ [T]^E_S }[/math].
2. נכפול במטריצת המעבר על מנת לקבל [math]\displaystyle{ [T]=[T]^S_S=[T]^E_S[I]^S_E }[/math]
3. [math]\displaystyle{ [T][v]=[Tv] }[/math] מכיוון שכל אלא בבסיס הסטנדרטי, נכפול בוקטור כללי מהמרחב על מנת למצוא לאן הוא נשלח במפורש.