88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול עליון ותחתון

גבול עליון וגבול תחתון

למדנו על חסמים על מנת לחסום את הקבוצה באופן אידיאלי, כלומר למצוא את "קצות" הקבוצה. היינו רוצים למצוא הגדרה דומה עבור סדרות. השיטה התמימה היא להביט בחסמים של קבוצת איברי הסדרה, אך מהדוגמא הקלה הבאה נראה כי החסמים של קבוצת איברי הסדרה לא אומרים שום דבר על הסדרה:

[math]\displaystyle{ 100,-100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,... }[/math]

החסמים הם פלוס מינוס מאה, אך אין קשר בין מספרים אלה להתנהגות הסדרה באינסוף.

הגדרה.

נגדיר

[math]\displaystyle{ b_1=\sup\{a_1,a_2,a_3,a_4...\} }[/math]

[math]\displaystyle{ b_2=\sup\{a_2,a_3,a_4,...\} }[/math]

[math]\displaystyle{ b_3=\sup\{a_3,a_4,...\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]

[math]\displaystyle{ b_i=\sup\{a_i,a_{i+1},a_{i+2},...\} }[/math]

כלומר, אנו לוקחים את החסם העליון של קבוצת איברי הסדרה, אבל כל פעם אנחנו זורקים את האיבר הבא מהסדרה. באופן טבעי, החסם העליון לא יגדל לאחר שנזרוק איבר.

אם כך, סדרת החסמים [math]\displaystyle{ b_i }[/math] מונוטונית יורדת ולכן שואפת למספר כלשהו או למינוס אינסוף. אם הסדרה חסומה, לפי תרגיל מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{i\rightarrow\infty}b_i = \inf\{b_1,b_2,b_3,...\} }[/math]

נגדיר את הגבול העליון של הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] להיות

[math]\displaystyle{ \limsup_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_{i\rightarrow\infty}b_i }[/math]

במילים בלתי מדוייקות, הגבול העליון הוא החסם העליון "באינסוף".

באופן דומה, הגבול התחתון הינו גבול החסמים התחתונים של קבוצות איברי הסדרה.

העשרה: סדרה הינה פונקציה [math]\displaystyle{ a_n=a(n) }[/math] מהטבעיים לקבוצה A, כלומר יחס חד ערכי ושלם [math]\displaystyle{ a\subseteq\mathbb{N}\times A }[/math]. אם כך, אנו מגדירים [math]\displaystyle{ b_i:=\sup\Big[im \big[a\cap(\mathbb{N}-\{1,2,...,i-1\})\times A\big]\Big] }[/math]