88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים כלליים
התכנסות בהחלט
הגדרה. יהי [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] טור. אזי אומרים כי הטור מתכנס בהחלט אם טור הערכים המוחלטים שלו [math]\displaystyle{ \sum |a_n| }[/math] מתכנס.
דוגמא.
הטור [math]\displaystyle{ \sum{(-1)^n\frac{1}{n}} }[/math] אינו מתכנס בהחלט, כיוון שטור הערכים המוחלטים [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n} }[/math] מתבדר.
משפט.
טור מתכנס בהחלט, מתכנס. כלומר, אם [math]\displaystyle{ \sum |a_n| }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] גם [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס. (ההפך לא נכון בהכרח.)
סקיצה של ההוכחה.
אם הטור מתכנס בהחלט, אזי סכום האיברים החיוביים בלבד של הטור המקורי מתכנס (לפי מבחן ההשוואה הראשון, שכן סכום החיוביים בלבד קטן מסכום כל הערכים המוחלטים). באופן דומה סכום האיברים השליליים של הטור המקורי מתכנס (שכן הוא מינוס של טור חיובי המתכנס לפי מבחן ההשואה הראשון). ביחד, סכום החיוביים פחות סכום השליליים מתכנס ושווה לסכום הטור.
שימו לב כי זו אינה הוכחה מלאה, יש לדייק בטיעונים.
מבחני התכנסות כלליים
עד כה למדנו את מבחני ההתכנסות לטורים חיוביים. כעת נלמד על מבחני התכנסות נוספים, שאינם דורשים כי כל איברי הסדרה יהיו חיוביים.
מבחן לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה חיובית מונוטונית יורדת השואפת לאפס. אזי הטור [math]\displaystyle{ \sum (-1)^na_n }[/math] מתכנס.
דוגמאות.
הטורים הבאים מתכנסים לפי מבחן לייבניץ:
- [math]\displaystyle{ \sum (-1)^n\frac{1}{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum (-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum (-1)^n\frac{1}{ln(n)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum (-1)^nsin(\frac{1}{n}) }[/math]
מבחן דיריכלה- סדרה מונוטונית כפול סדרה עם טור חסום
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה חיובית מונוטונית יורדת השואפת לאפס. תהי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] כך שסדרת הסכומים החלקיים שלה חסומה:
- [math]\displaystyle{ \exist M\forall N:|S_N|=|\sum_{n=1}^Na_n|\lt M }[/math]
אזי [math]\displaystyle{ \sum b_n\cdot a_n }[/math] מתכנס.