88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/רציפות במ"ש

רציפות במידה שווה

עד כה הגדרנו רציפות באופן נקודתי ואמרנו שפונקציה רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע בנפרד.

באופן אינטואיטיבי, אומרים כי פונקציה מתכנסת 'יותר מהר' אל הגבול שלה, אם הדלתא הנדרש לאפסילון הוא גדול יותר (כלומר הפונקציה קרובה לגבול בתחום יותר רחב). אנו רוצים להגדיר פונקציות אשר מהירות ההתכנסות שלהן דומה בכל נקודה בקטע מסויים.

הגדרה. פונקציה f נקראת רציפה במידה שווה (רציפה במ"ש) בקטע A אם:

• לכל [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שלכל זוג נקודות [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in A }[/math] המקיימות [math]\displaystyle{ |x_1-x_2|\lt \delta }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x_1)-f(x_2)|\lt \epsilon }[/math]

שימו לב כי ברציפות רגילה בקטע A, לכל נקודה בקטע ההתאמה של הדלתא לאפסילון עשוייה להיות שונה. כאשר הפונקציה רציפה במ"ש, לכל אפסילון יש דלתא המתאים לכל הקטע A.

הערה: ברור שאם פונקציה רציפה במ"ש על קטע A, היא גם רציפה במ"ש על כל קטע המוכל ב-A.

דוגמאות.

נבחן את הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] על ציר הממשיים. לכל אפסילון, ניקח דלתא שווה לאפסילון ונקבל כי [math]\displaystyle{ |f(x_1)-f(x_2)|=|x_1-x_2|\lt \delta=\epsilon }[/math]

בדוגמא הבאה נלמד כי פונקציה מסויימת עשוייה להיות רציפה במ"ש בקטע מסויים אך לא רציפה במ"ש בקטע אחר. כפי שנראה בהמשך, כל פונקציה הרציפה על קטע סופי וסגור רציפה בו במ"ש, ואילו ישנן פונקציות רציפות שאינן רציפות במ"ש על כל ציר הממשיים.