88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/רציפות במ"ש

חזרה לפונקציות

רציפות במידה שווה

עד כה הגדרנו רציפות באופן נקודתי ואמרנו שפונקציה רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע בנפרד.

באופן אינטואיטיבי, אומרים כי פונקציה מתכנסת 'יותר מהר' אל הגבול שלה, אם הדלתא הנדרש לאפסילון הוא גדול יותר (כלומר הפונקציה קרובה לגבול בתחום יותר רחב). אנו רוצים להגדיר פונקציות אשר מהירות ההתכנסות שלהן דומה בכל נקודה בקטע מסויים.

הגדרה. פונקציה f נקראת רציפה במידה שווה (רציפה במ"ש) בקטע A אם:

• לכל [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שלכל זוג נקודות [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in A }[/math] המקיימות [math]\displaystyle{ |x_1-x_2|\lt \delta }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x_1)-f(x_2)|\lt \epsilon }[/math]

שימו לב כי ברציפות רגילה בקטע A, לכל נקודה בקטע ההתאמה של הדלתא לאפסילון עשוייה להיות שונה. כאשר הפונקציה רציפה במ"ש, לכל אפסילון יש דלתא המתאים לכל הקטע A.

הערה: ברור שאם פונקציה רציפה במ"ש על קטע A, היא גם רציפה במ"ש על כל קטע המוכל ב-A.

דוגמאות.

נבחן את הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math], ונוכיח כי היא רציפה במ"ש על כל ציר הממשיים.

אכן, לכל אפסילון ניקח דלתא שווה לאפסילון ונקבל כי [math]\displaystyle{ |f(x_1)-f(x_2)|=|x_1-x_2|\lt \delta=\epsilon }[/math]

בדוגמא הבאה נלמד כי פונקציה מסויימת עשוייה להיות רציפה במ"ש בקטע מסויים אך לא רציפה במ"ש בקטע אחר. כפי שנראה בהמשך, כל פונקציה הרציפה על קטע סופי וסגור רציפה בו במ"ש, ואילו ישנן פונקציות רציפות שאינן רציפות במ"ש על כל ציר הממשיים.

ראשית, נביט ב [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math] על הקטע הסופי [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]. יהי אפסילון גדול מאפס, אזי:

[math]\displaystyle{ |f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|\leq |x_1-x_2|\cdot 2max(|a|,|b|) }[/math]

כעת, אם ניקח [math]\displaystyle{ \delta = \frac{\epsilon}{2max(|a|,|b|)} }[/math] נקבל את הדרוש.

עכשיו, נבחן את אותה הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math] על כל הממשיים, ונוכיח כי היא אינה רציפה שם במ"ש.

ניקח [math]\displaystyle{ \epsilon=1 }[/math]. צריך להוכיח כי לכל [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] קיים זוג מספרים ממשיים המקיימים [math]\displaystyle{ |x_1-x_2|\lt \delta }[/math] וגם [math]\displaystyle{ |f(x_1)-f(x_2)|\geq 1 }[/math].

ניקח [math]\displaystyle{ x_2=x_1+\frac{\delta}{2} }[/math] ונראה כי אם נבחר את [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] להיות גדול מספיק, נקבל את הדרוש. ברור כי [math]\displaystyle{ |x_1-x_2|=\frac{\delta}{2}\lt \delta }[/math]

[math]\displaystyle{ |f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|=\frac{\delta}{2}|2x_1+\frac{\delta}{2}| }[/math]

ברור שאם נגדיל את [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] מספיק נקבל את הדרוש.

מבחנים לבדיקה האם פונקציה רציפה במ"ש

משפט

פונקציה הרציפה במ"ש על קטע רציפה שם.

משפט קנטור

פונקציה רציפה על קטע סגור רציפה שם במ"ש

משפט

תהי f רציפה על קטע חצי אינסופי מהצורה [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math], כך שהגבול

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=L }[/math]

קיים וסופי, אזי f רציפה במ"ש על הקטע [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math].

הוכחה.

יהי אפסילון גדול מאפס, צריך למצוא דלתא גדול מאפס כך שאם המרחק בין זוג נקודות בקטע קטן מדלתא, המרחק בין התמונות שלהן תחת הפונקציה קטן מאפסילון.

לפי הנתון, קיים M כך שלכל [math]\displaystyle{ x\gt M }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)-L|\lt \frac{\epsilon}{2} }[/math].

לכן לכל [math]\displaystyle{ x_1,x_2\gt M }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x_1)-f(x_2)|\lt \epsilon }[/math] (בעזרת אי שיוויון המשולש).

כעת, לפי משפט קנטור f רציפה במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ [a,M+1] }[/math], ולכן קיים דלתא כך שלכל זוג נקודות [math]\displaystyle{ a\leq x_1,x_2\leq M+1 }[/math] הקרובות עד כדי דלתא, מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x_1)-f(x_2)|\lt \epsilon }[/math].

אם ניקח מרחק שקטן או שווה למינימום שבין דלתא לבין אחד, יתקיים שאם [math]\displaystyle{ |x_1-x_2|\lt \delta }[/math] אזי שתי הנקודות נמצאות בקטע [math]\displaystyle{ [M,\infty) }[/math] או בקטע [math]\displaystyle{ [a,M+1] }[/math] ולכן ההפרש בין התמונות שלהן תחת f הוא קטן מאפסילון כפי שרצינו.

משפט

תהי f פונקציה רציפה על קטע לאו דווקא סופי, אזי אם הגבולות של הפונקציה בקצות הקטע קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במ"ש בקטע (ההפך אינו נכון בהכרח, שכן ראינו את הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] שאין לה גבול באינסוף, אך היא רציפה במ"ש על כל ציר הממשיים.)

הוכחה.

נחלק את ההוכחה לשנים- כאשר קצה הקטע הוא סופי, וכאשר הוא אינסופי. ההוכחות לימין ולשמאל דומות, לכן נוכיח ב.ה.כ לקצה הקטע הימני.