88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/6

חזרה לדוגמאות

• [math]\displaystyle{ \sum \frac{n^{n-2}}{e^nn!} }[/math]

נביט בחלוקה

[math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{n-1}e^nn!}{e^{n+1}(n+1)!n^{n-2}}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n-2}}{e} }[/math]

כיוון שהסדרה [math]\displaystyle{ \Big(\frac{n+1}{n}\Big)^n }[/math] שואפת למספר e מלמטה, מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n-2}}{e}\leq \frac{(\frac{n+1}{n})^{n-2}}{(\frac{n+1}{n})^{n}}= \frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}} }[/math]

כיוון שהטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2} }[/math] מתכנס, יחד עם התרגיל הקודם, קיבלנו כי טור זה מתכנס.