אינפי 1, תשנ"ו מועד ב' - פתרון (זלצמן)

קישור לבחינה עצמה: המבחן אתם מוזמנים לעזור בפתרון, לשנות, לתקן ולהעיר הערות.

שאלה 1

יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} }[/math] טור חיובי.

א. הראה שאם [math]\displaystyle{ \left \{a_{n} \right \}_{n=1}^{\infty } }[/math] סדרה המקיימת לכל n [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_{n}|\lt b_{_{n}} }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\lt \infty }[/math] אזי הסדרה מתכנסת.

הוכחה:

אם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\lt \infty }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} }[/math] טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מילעל ולכן מתכנסת.

נוכיח כי הסדרה הינה קושי וזאת באמצעות הקריטריון של קושי להתכנסות סדרות.

יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]. לפי קריטריון קושי קיים [math]\displaystyle{ M\in \mathbb{N} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ p\in \mathbb{N} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |\sum_{i=M}^{M+p}b_{i}|\lt \varepsilon }[/math].

יהיו [math]\displaystyle{ n,m\gt M }[/math], אזי:

[math]\displaystyle{ |a_{n}-a_{m}|=|a_{n}-a_{n-1}+a_{n-1} - .... + a_{m+1}-a_{m}|\leq |a_{n}-a_{n-1}| + |a_{n-1}-a_{n-2}| +....+|a_{m+1}-a_{m}|\leq b_{n-1}+b_{n-2}+...+b_{m}=\sum_{i=m}^{n-1}b_{i}\leq \sum_{i=M}^{n-1}b_{i}\lt \varepsilon }[/math]

הראנו שהסדרה היא קושי ולכן מתכנסת.

ב. אם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} }[/math] אז קיימת סדרה [math]\displaystyle{ \left \{a_{n} \right \}_{n=1}^{\infty } }[/math] המקיימת לכל n [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_{n}|\lt b_{_{n}} }[/math] וגם מתבדרת.

הוכחה:

נביט בסדרת הסכומים החלקיים של הטור (עם שינוי קל): [math]\displaystyle{ S_{n}=\sum_{i=1}^{n-1}b_{i} }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ S_{1}=0 }[/math]

הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} }[/math] מתבדר ולכן לפי ההגדרה (כי הוספת איבר אחד בהתחלה אינה משפיעה על התכנסות או התבדרות הסדרה) הסדרה מתבדרת.

כמו כן, קל לראות כי מתקיים התנאי: [math]\displaystyle{ |S_{n+1}-S_{n}|=|\sum_{i=1}^{n}b_{i}-\sum_{i=1}^{n-1}b_{i}|=|b_{n}|=b_{n} }[/math]

מ.ש.ל

שאלה 2

בדוק התכנסות והתכנסות בהחלט של הטורים הבאים:

א. [math]\displaystyle{ \sum\frac{(-1)^{n}ln(n)}{n} }[/math]

פתרון:

ראשית נבודק התכנסות בהחלט: [math]\displaystyle{ \sum|\frac{(-1)^{n}ln(n)}{n}|=\sum\frac{ln(n)}{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ 1\lt ln(n) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 3\leq n }[/math] ולכן לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] שכזה מתקיים: [math]\displaystyle{ \frac{1}{n}\leq \frac{ln(n)}{n} }[/math] ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיוון שהטור ההרמוני מתבדר אז [math]\displaystyle{ \sum\frac{ln(n)}{n} }[/math] מתבדר.

ידוע [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{ln(n)}{n}=0 }[/math] (ואם אתם לא מאמינים לי אפשר להוכיח את זה עם לפיטל) ולכן מספיק להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת כדי להסיק התכנסות בתנאי לפי לייבניץ':

נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{ln(x)}{x} }[/math], מספיק להראות ש[math]\displaystyle{ f'(x)\leq 0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\geq 3 }[/math].

[math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{1-ln(x)}{x^2} }[/math] וקל לראות שהתנאי לעיל מתקיים עבור [math]\displaystyle{ x\geq e }[/math] ובפרט עבור [math]\displaystyle{ x\geq 3 }[/math].

ב. [math]\displaystyle{ \sum (-1)^nsin(\frac{1}{n^2}) }[/math]

פתרון:

נראה התכנסות בהחלט לפי מבחן ההשוואה הגבולי

[math]\displaystyle{ \frac{sin(\frac{1}{n^2})}{\frac{1}{n^2}}\rightarrow 1 }[/math] ולכן הטורים חברים.

מכיוון [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2} }[/math] מתכנס אז גם [math]\displaystyle{ \sum sin(\frac{1}{n^2}) }[/math].

ולכן הטור מתכנס בהחלט

ג. [math]\displaystyle{ \sum (-1)^n\frac{(2n)!}{n^{2n}} }[/math]

פתרון:

נוכיח התכנסות בהחלט לפי מבחן המנה של ד'לאמבר

[math]\displaystyle{ \frac{\frac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\frac{(2n)!}{n^{2n}}}=\frac{\frac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\frac{(2n)!\cdot n^2}{n^{2n+2}}}=\frac{(2n+2)!}{(2n)!\cdot n^2}\cdot (\frac{n}{n+1})^{2n}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{n^2}\cdot(1-\frac{1}{n+1})^{2n+2}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{n^2}\cdot ((1-\frac{1}{n+1})^{n+1})^2\rightarrow \frac{4}{e^2}\lt 1 }[/math]

ולכן הטור מתכנס בהחלט!

שאלה 3

ציטוט משפטים

שאלה 4

יש לבדוק האם הפונקציות הבאות רבמ"ש בקטעים הנתונים:

א. [math]\displaystyle{ f(x)=xsin(\frac{1}{x^2}) }[/math] בקטע (0,1)

נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}xsin(\frac{1}{x^2})=0 }[/math], חסומה כפול 0.

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}xsin(\frac{1}{x^2})=f(1)=sin(1) }[/math]. מזאת מכיוון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.

ב. [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מסעיף א' בקרן [math]\displaystyle{ (1,\infty ) }[/math]

בדומה לסעיף הקודם, נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow \infty }xsin(\frac{1}{x^2})=\lim_{x\rightarrow \infty }x^2sin(\frac{1}{x^2})\cdot \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x}=1\cdot 0=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}xsin(\frac{1}{x^2})=f(1)=sin(1) }[/math]. מזאת מכיוון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.

ג. [math]\displaystyle{ g(x)=sin(x^2) }[/math] רבמ"ש ב[math]\displaystyle{ (0,\infty ) }[/math]

נניח בשלילה שהפונקציה רבמ"ש. הפונקציה [math]\displaystyle{ h(x)=arcsin(x) }[/math] רציפה בתחום [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] ולכן רבמ"ש בו.

מכיוון שהתחום [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] הינו התמונה של [math]\displaystyle{ g }[/math], ההרכבה של הפונקציות רבמ"ש (לפי משפט).

לכן [math]\displaystyle{ (h\circ g)(x)=arcsin(sin(x^2))=x^2 }[/math] רבמ"ש, בסתירה להוכחה מהתירגול.

פתרון נוסף (עם סדרות):

נגדיר את שתי הסדרות הבאות:

[math]\displaystyle{ x_{n}=\sqrt{\frac{3\pi }{2}+2\pi n} }[/math] ואת הסדרה [math]\displaystyle{ y_{n}=\sqrt{\frac{\pi }{2}+2\pi n} }[/math] ונמשיך מכאן...