אינפי 1, תשנ"ו מועד ב' - פתרון (זלצמן)

קישור לבחינה עצמה: המבחן

אתם מוזמנים לעזור בפתרון, לשנות, לתקן ולהעיר הערות.

שאלה 1

יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} }[/math] טור חיובי.

א. הראה שאם [math]\displaystyle{ \left \{a_{n} \right \}_{n=1}^{\infty } }[/math] סדרה המקיימת לכל n [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_{n}|\lt b_{_{n}} }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\lt \infty }[/math] אזי הסדרה מתכנסת.

הוכחה:

אם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\lt \infty }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} }[/math] טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מילעל ולכן מתכנסת.

נוכיח כי הסדרה הינה קושי וזאת באמצעות הקריטריון של קושי להתכנסות סדרות.

יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]. לפי קריטריון קושי קיים [math]\displaystyle{ M\in \mathbb{N} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ p\in \mathbb{N} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |\sum_{i=M}^{M+p}b_{i}|\lt \varepsilon }[/math].

יהיו [math]\displaystyle{ n,m\gt M }[/math], אזי:

[math]\displaystyle{ |a_{n}-a_{m}|=|a_{n}-a_{n-1}+a_{n-1} - .... + a_{m+1}-a_{m}|\leq |a_{n}-a_{n-1}| + |a_{n-1}-a_{n-2}| +....+|a_{m+1}-a_{m}|\leq b_{n-1}+b_{n-2}+...+b_{m}=\sum_{i=m}^{n-1}b_{i}\leq \sum_{i=M}^{n-1}b_{i}\lt \varepsilon }[/math]

הראנו שהסדרה היא קושי ולכן מתכנסת.

ב. אם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} }[/math] אז קיימת סדרה [math]\displaystyle{ \left \{a_{n} \right \}_{n=1}^{\infty } }[/math] המקיימת לכל n [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_{n}|\lt b_{_{n}} }[/math] וגם מתבדרת.

הוכחה:

נביט בסדרת הסכומים החלקיים של הטור (עם שינוי קל): [math]\displaystyle{ S_{n}=\sum_{i=1}^{n-1}b_{i} }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ S_{1}=0 }[/math]

הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} }[/math] מתבדר ולכן לפי ההגדרה (כי הוספת איבר אחד בהתחלה אינה משפיעה על התכנסות או התבדרות הסדרה) הסדרה מתבדרת.

כמו כן, קל לראות כי מתקיים התנאי: [math]\displaystyle{ |S_{n+1}-S_{n}|=|\sum_{i=1}^{n}b_{i}-\sum_{i=1}^{n-1}b_{i}|=|b_{n}|=b_{n} }[/math]

מ.ש.ל

שאלה 2

בדוק התכנסות והתכנסות בהחלט של הטורים הבאים:

א. [math]\displaystyle{ \sum\frac{(-1)^{n}ln(n)}{n} }[/math]

פתרון:

ראשית נבודק התכנסות בהחלט: [math]\displaystyle{ \sum|\frac{(-1)^{n}ln(n)}{n}|=\sum\frac{ln(n)}{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ 1\lt ln(n) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 3\leq n }[/math] ולכן לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] שכזה מתקיים: [math]\displaystyle{ \frac{1}{n}\leq \frac{ln(n)}{n} }[/math] ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיוון שהטור ההרמוני מתבדר אז [math]\displaystyle{ \sum\frac{ln(n)}{n} }[/math] מתבדר.

ידוע [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{ln(n)}{n}=0 }[/math] (ואם אתם לא מאמינים לי אפשר להוכיח את זה עם לפיטל) ולכן מספיק להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת כדי להסיק התכנסות בתנאי לפי לייבניץ':

נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{ln(x)}{x} }[/math], מספיק להראות ש[math]\displaystyle{ f'(x)\leq 0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\geq 3 }[/math].

[math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{1-ln(x)}{x^2} }[/math] וקל לראות שהתנאי לעיל מתקיים עבור [math]\displaystyle{ x\geq e }[/math] ובפרט עבור [math]\displaystyle{ x\geq 3 }[/math].

ב. [math]\displaystyle{ \sum (-1)^nsin(\frac{1}{n^2}) }[/math]

פתרון:

נראה התכנסות בהחלט לפי מבחן ההשוואה הגבולי

[math]\displaystyle{ \frac{sin(\frac{1}{n^2})}{\frac{1}{n^2}}\rightarrow 1 }[/math] ולכן הטורים חברים.

מכיוון [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2} }[/math] מתכנס אז גם [math]\displaystyle{ \sum sin(\frac{1}{n^2}) }[/math].

ולכן הטור מתכנס בהחלט

ג. [math]\displaystyle{ \sum (-1)^n\frac{(2n)!}{n^{2n}} }[/math]

פתרון:

נוכיח התכנסות בהחלט לפי מבחן המנה של ד'לאמבר

[math]\displaystyle{ \frac{\frac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\frac{(2n)!}{n^{2n}}}=\frac{\frac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\frac{(2n)!\cdot n^2}{n^{2n+2}}}=\frac{(2n+2)!}{(2n)!\cdot n^2}\cdot (\frac{n}{n+1})^{2n}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{n^2}\cdot(1-\frac{1}{n+1})^{2n+2}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{n^2}\cdot ((1-\frac{1}{n+1})^{n+1})^2\rightarrow \frac{4}{e^2}\lt 1 }[/math]

ולכן הטור מתכנס בהחלט!

שאלה 3

ציטוט משפטים

שאלה 4

יש לבדוק האם הפונקציות הבאות רבמ"ש בקטעים הנתונים:

א. [math]\displaystyle{ f(x)=xsin(\frac{1}{x^2}) }[/math] בקטע (0,1)

נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}xsin(\frac{1}{x^2})=0 }[/math], חסומה כפול 0.

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}xsin(\frac{1}{x^2})=f(1)=sin(1) }[/math]. מזאת מכיוון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.

ב. [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מסעיף א' בקרן [math]\displaystyle{ (1,\infty ) }[/math]

בדומה לסעיף הקודם, נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow \infty }xsin(\frac{1}{x^2})=\lim_{x\rightarrow \infty }x^2sin(\frac{1}{x^2})\cdot \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x}=1\cdot 0=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}xsin(\frac{1}{x^2})=f(1)=sin(1) }[/math]. מזאת מכיוון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.

ג. [math]\displaystyle{ g(x)=sin(x^2) }[/math] רבמ"ש ב[math]\displaystyle{ (0,\infty ) }[/math]

נניח בשלילה שהפונקציה רבמ"ש. הפונקציה [math]\displaystyle{ h(x)=arcsin(x) }[/math] רציפה בתחום [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] ולכן רבמ"ש בו.

מכיוון שהתחום [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] הינו התמונה של [math]\displaystyle{ g }[/math], ההרכבה של הפונקציות רבמ"ש (לפי משפט).

לכן [math]\displaystyle{ (h\circ g)(x)=arcsin(sin(x^2))=x^2 }[/math] רבמ"ש, בסתירה להוכחה מהתירגול.

פתרון נוסף (עם סדרות):

נגדיר את שתי הסדרות הבאות:

[math]\displaystyle{ x_{n}=\sqrt{\frac{3\pi }{2}+2\pi n} }[/math] ואת הסדרה [math]\displaystyle{ y_{n}=\sqrt{\frac{\pi }{2}+2\pi n} }[/math] ונמשיך מכאן...

שאלה 5

[math]\displaystyle{ f(x):=2-x }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{Q} }[/math]

[math]\displaystyle{ f(x):=\frac{1}{x} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\notin \mathbb{Q} }[/math]

צריך למצוא עבור אילו ערכים הפונקציה רציפה ועבור אילו ערכים הפונקציה גזירה.

פתרון: נתחיל עם הנקודות עבורן הפונקציה רציפה, שכן זהו תנאי הכרחי לגזירות.

הנקודות בהן הפונקציה רציפה הן הנקודות בהן מתקיים השוויון: [math]\displaystyle{ 2-x=\frac{1}{x} }[/math]

בכל שאר הנקודות, ניתן לבנות שתי סדרות: אחת של רציונאליים ואחת של אי רציונאליים שתמונותיהן יתכנסו לשני ערכים שונים ולכן היא אינה רציפה בהן.

במקרה של שוויון, כל סדרה של רציונליים, אי רציונאליים או שילוב שלהם תתכנס ל[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] בין אם הוא רציונאלי או לא.

נפתור את המשוואה ונקבל תוצאה יחידה: [math]\displaystyle{ x=1 }[/math], בנקודה זו הפונקציה רציפה.

כעת נבדוק האם היא גזירה בנקודה זו, אם הפונקציה גזירה אזי בהכרח [math]\displaystyle{ (2-x)'(1)=(\frac{1}{x})'(1) }[/math] מנימוקים דומים, כלומר:

מכיוון שהגבולות [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac{1}{x}-1}{x-1},\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(2-x)-1}{x-1}\in \mathbb{R} }[/math]

אז לפי היינה התמונות של כל הסדרות שמתכנסות ל1 יתכנסו לגבולות האלו. אם הפונקציה גזירה, בהכרח הגבול קיים ולכן כל הסדרות התמונות חייבות להתכנס לאותה נקודה. על כל פנים, נחזור לשוויון שהצגנו לעיל:

[math]\displaystyle{ (2-x)'(1)=-1=-\frac{1}{1^2}=(-\frac{1}{x^2})(1)=(\frac{1}{x})'(1) }[/math]

ולכן הפונקציה גזירה בנקודה [math]\displaystyle{ x=1 }[/math].