88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1

בוחן 1 לתלמידי מדעי המחשב

1

L הינו גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math]אם לכל אפסילון גדול מאפס קיים מקום בסדרה [math]\displaystyle{ N_\epsilon }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N_\epsilon }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \epsilon }[/math]

L אינו גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אם קיים אפסילון גדול מאפס כך שלכל מקום N בסדרה קיים [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |a_n-L|\geq\epsilon }[/math]

2

משיעורי הבית

3

משיעורי הבית

4

כיוון שהאיבר הראשון חיובי, ושאר האיברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן

[math]\displaystyle{ a_{n+1}\lt a_n \iff a_n^2\lt a_{n-1}^2\iff a_n\lt a_{n-1} }[/math]

ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על ידי הזוג הראשון. כאשר [math]\displaystyle{ c\gt 1 }[/math] הסדרה מונוטונית עולה, כאשר [math]\displaystyle{ c=1 }[/math] קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר [math]\displaystyle{ 0\lt c\lt 1 }[/math] הסדרה מונוטונית יורדת.

כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע 1 ולכן גבולה הוא אחד.

כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על ידי אפס ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:

נסמן [math]\displaystyle{ \lim a_n=L }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lim a_{n+1}=L }[/math]ולכן:

[math]\displaystyle{ L^2=L }[/math]

כלומר L שווה לאחד או אפס. כיוון שאנו עוסקים במקרה בו [math]\displaystyle{ c\lt 1 }[/math] והסדרה מונוטונית יורדת, [math]\displaystyle{ L=\lim a_n\leq c\lt 1 }[/math] ולכן הגבול שווה אפס.

באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מאחד בסתירה.

5

משיעורי הבית

6

א

חסומה כפול שואפת לאפס לכן שואף לאפס

ב

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot 9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot 8}=9\sqrt[n]{8}\rightarrow 9 }[/math]

ג

[math]\displaystyle{ L=\frac{L^2}{2}+\frac{1}{2} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ L=1 }[/math]

ד

[math]\displaystyle{ \Big(1+\frac{3n}{n^2+1}\Big)^n =\Big(1+\frac{1}{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}\Big)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}} =\Big(1+\frac{1}{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}\Big)^{(\frac{n}{3}+\frac{1}{3n})\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}}} \rightarrow e^3 }[/math]

ה

לפי משפט אם הגבול [math]\displaystyle{ \lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=L }[/math] קיים, אזי מתקיים ש [math]\displaystyle{ \lim\sqrt[n]{a_n}=L }[/math] (בכיוון ההפוך זה לא נכון)

לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה:

[math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2(n+1))!(n!)^2}{((n+1)!)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}\rightarrow 4 }[/math]