מבחן השורש של קושי

חזרה למשפטים באינפי

מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים

יהי [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] טור חיובי. אזי:

אם [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} \gt 1 }[/math] הטור מתבדר

אם [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} \lt 1 }[/math] הטור מתכנס

אם [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} =1 }[/math] לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.

הוכחה

נניח כי [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} =d\gt 1 }[/math]. נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:

[math]\displaystyle{ \lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d }[/math]

• לכן החל ממקום מסויים בסדרה, [math]\displaystyle{ \sqrt[n_k]{a_{n_k}}-1\gt \frac{d-1}{2}\gt 0 }[/math].

• לכן [math]\displaystyle{ a_{n_k}\gt \Big(\frac{d-1}{2}\Big)^{n_k} }[/math]

• לכן [math]\displaystyle{ \lim a_{n_k}=\infty }[/math]

• לכן בפרט [math]\displaystyle{ a_n\not\rightarrow 0 }[/math]

ולכן הטור מתבדר.

כעת, נניח כי [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} =d\lt 1 }[/math].

• לכן החל ממקום מסויים בסדרה, [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n}\lt \frac{1-d}{2}\lt 1 }[/math]

• לכן [math]\displaystyle{ a_n\lt \Big(\frac{1-d}{2}\Big)^n }[/math]

• אבל [math]\displaystyle{ \sum \Big(\frac{1-d}{2}\Big)^n }[/math] הוא טור הנדסי מתכנס

• לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.

הטורים [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2} }[/math] הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחד.