טור מתכנס בהחלט

משפט

טור המתכנס בהחלט - מתכנס

הוכחה

יהי טור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] המתכנס בהחלט. נסמן:

[math]\displaystyle{ p_n=\frac{|a_n|+a_n}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ q_n=\frac{|a_n|-a_n}{2} }[/math]

קל לראות כי:

[math]\displaystyle{ p_n+q_n=|a_n| }[/math]

[math]\displaystyle{ p_n-q_n=a_n }[/math]

[math]\displaystyle{ 0\leq p_n,q_n }[/math]

כיוון שהטור [math]\displaystyle{ \sum |a_n| }[/math] מתכנס לפי הנתון, וכיוון ש [math]\displaystyle{ p_n,q_n\leq |a_n| }[/math],

לפי מבחן ההשוואה הטורים החיוביים [math]\displaystyle{ \sum p_n, \sum q_n }[/math] מתכנסים.

הפרש טורים מתכנסים הוא מתכנס, ולכן גם [math]\displaystyle{ \sum p_n-q_n=\sum a_n }[/math] מתכנס.