מבחן השורש של קושי
מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים
יהי [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] טור חיובי. אזי:
- אם [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} \gt 1 }[/math] הטור מתבדר
- אם [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} \lt 1 }[/math] הטור מתכנס
- אם [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} =1 }[/math] לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
הוכחה
נניח כי [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} =d\gt 1 }[/math]. נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
- [math]\displaystyle{ \lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d }[/math]
- לכן החל ממקום מסויים בסדרה, [math]\displaystyle{ \sqrt[n_k]{a_{n_k}}\gt \frac{d+1}{2}\gt 1 }[/math].
- לכן [math]\displaystyle{ a_{n_k}\gt \Big(\frac{d+1}{2}\Big)^{n_k} }[/math]
- לכן [math]\displaystyle{ \lim a_{n_k}=\infty }[/math]
- לכן בפרט [math]\displaystyle{ a_n\not\rightarrow 0 }[/math]
ולכן הטור מתבדר.
כעת, נניח כי [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} =d\lt 1 }[/math].
- לכן החל ממקום מסויים בסדרה, [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n}\lt \frac{1+d}{2}\lt 1 }[/math]
- לכן [math]\displaystyle{ a_n\lt \Big(\frac{1+d}{2}\Big)^n }[/math]
- אבל [math]\displaystyle{ \sum \Big(\frac{1+d}{2}\Big)^n }[/math] הוא טור הנדסי מתכנס
- לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.
הטורים [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2} }[/math] הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחד.