פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,
(המבחן )
חלק א'
1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס. [math]\displaystyle{ a_n }[/math] היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י [math]\displaystyle{ b_1 }[/math] (באינדוקציה - [math]\displaystyle{ b_1 }[/math] גדולה יותר מכל שאר איברי [math]\displaystyle{ b }[/math] שגדולים יותר מכל איברי [math]\displaystyle{ a }[/math]) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, [math]\displaystyle{ b_n }[/math] היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמה את ב':
דוגמה: [math]\displaystyle{ a_n=2(1+\frac{1}{n}) }[/math], [math]\displaystyle{ b_n=-2(1+\frac{1}{n}) }[/math].
2) התשובה היא ב'.
הפרכה לג', ד': [math]\displaystyle{ a_n=1/n }[/math]. ברור [math]\displaystyle{ a_n \to 0 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }{\sqrt[n]{a_n}}=1 }[/math].
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'.
ב' נכון שכן [math]\displaystyle{ \frac{1}{|a_n|} \to \infty }[/math].
(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם [math]\displaystyle{ |a_n|\lt \epsilon }[/math] אז [math]\displaystyle{ \frac{1}{|a_n|}\gt \frac{1}{\epsilon} }[/math].) פורמלית: יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ a_n \to \infty }[/math] ולכן לכל [math]\displaystyle{ \frac{1}{\epsilon } }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ \forall n\lt N: |a_n|\lt \frac{1}{\epsilon } }[/math], כלומר כך ש[math]\displaystyle{ \frac{1}{|a_n|}\gt \epsilon }[/math]. מש"ל.
3) ד'. [math]\displaystyle{ \infty }[/math] או 0 נק'. שתי דוגמאות: [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math], [math]\displaystyle{ a_n=1+1/n }[/math]. באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה נניח בשלילה שיש נקודה [math]\displaystyle{ x=c }[/math] בחיתוך ונתבונן במקום [math]\displaystyle{ n=c+1 }[/math], כלומר בקטע [math]\displaystyle{ [c+1, \infty) }[/math] שלא מכיל את c כלל, בסתירה.
4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר [math]\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{matrix} x+2 &x\neq 9 \\ x+3 & x=9 \end{matrix}\right. }[/math], [math]\displaystyle{ g(x)=\left\{\begin{matrix} x+3 &x\neq 9 \\ x+2 & x=9 \end{matrix}\right. }[/math]
אז ברור שההרכבה רציפה, שכן [math]\displaystyle{ f(g(x))=\left\{\begin{matrix} x+5 &x\neq 9 \\ x+5 & x=9 \end{matrix}\right.=x+5 }[/math] והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.
גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד'.
5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים [math]\displaystyle{ \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}} }[/math], שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה.
(ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור [math]\displaystyle{ -1\lt r\lt 1 }[/math], ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': [math]\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{x}{2} & x\leq4 \\
4x & else
\end{matrix}\right. }[/math] עולה ממש ואינה רציפה בקטע [math]\displaystyle{ (-152.3,17) }[/math].
הוכחת ב': בשלילה, [math]\displaystyle{ \exists x_1,x_2 \in \mathbb{R}:x1 \neq x_2 \wedge f(x_1) = f(x_2) }[/math].
בסתירה לכך ש [math]\displaystyle{ f }[/math] עולה ממש, שהרי בה"כ [math]\displaystyle{ x_1\lt x_2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x_1) \lt f(x_2) }[/math] בסתירה להיותם שווים.
6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8.
הוכחה: f עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. f גזירה ב[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונ' ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת [math]\displaystyle{ y_0 }[/math]. כעת, לפי ההנחה [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f'(x_0) }[/math].
מכאן נקבל [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}}=\frac{1}{f'(x_0)} }[/math], בהנחה שהנגזרת שונה מ-0. לכן [math]\displaystyle{ \lim_{y\rightarrow y_0}{\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}}=\frac{1}{f'(x_0)} }[/math] ובפרט קיים. לכן הפונ' ההפוכה גזירה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. בכיוון ההפוך, נראה את הcontrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של f, ולכן הנגזרת שונה מ-0 (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).
חלק ב'
7) [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1+xcosx}{x+2} }[/math].
[math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{(1+xcosx)'(x+2)-(1+xcosx)(x+2)'}{(x+2)^2}= }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{(cosx-xsinx)(x+2)-(1+xcosx)}{(x+2)^2}=\frac{ xcosx-x^2sinx+2cosx-2xsinx-1-xcosx}{(x+2)^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(0)=\frac{-0^2sin0+2cos0-0sin0-1}{(0+2)^2} = \frac{2-1}{2^2}=\frac{1}{4} }[/math]
זהו שיפוע המשיק.
כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה [math]\displaystyle{ (0,\frac{1}{2}) }[/math], ונקבל: [math]\displaystyle{ y=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x }[/math].
8) היה במערכי התרגול [[1]] עבור סכום עד [math]\displaystyle{ 3n }[/math]. הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:
[math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}=\frac{2}{2n}-\frac{1}{n}=0 }[/math] ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקצייה הסדרה חסומה מלרע ע"י 0 (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.
9) הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-0 כאשר n שואף לאינסוף, אלא שואפת לאינסוף.
(המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:)
בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של [math]\displaystyle{ 8(\frac{n}{n+2})^n }[/math].
[math]\displaystyle{ 8(\frac{n}{n+2})^n=8(1-\frac{2}{n+2})^n=8(1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8((1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}})^2\cdot (1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{-2} }[/math]
קיבלנו גורם 8, גורם [math]\displaystyle{ (e^{-1})^2 }[/math], וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא [math]\displaystyle{ \frac{8}{e^2}\gt 1 }[/math], (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר.
חלק ג'
10) הפרכה: ניקח [math]\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^n}{n} }[/math], [math]\displaystyle{ b_n=\frac{(-1)^n}{logn} }[/math]. לפי לייבניץ הטור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס, וברור ש[math]\displaystyle{ b_n }[/math] שואפת ל0 שכן [math]\displaystyle{ logn \to \infty }[/math], אבל המכפלה [math]\displaystyle{ \sum a_nb_n=\sum \frac{1}{n\cdot ln(n)} }[/math] מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל :)
(נגדיר [math]\displaystyle{ b_1=0 }[/math] בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה)
11) נגדיר פונקצייה h על ידי [math]\displaystyle{ \forall x \in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2 }[/math]. כעת, נתבונן ב[math]\displaystyle{ h(1),h(2),h(3) }[/math]:
[math]\displaystyle{ h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1\lt 0 }[/math] ואילו [math]\displaystyle{ h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0\gt 0 }[/math], ולכן לפי משפט ערך הביניים ל-[math]\displaystyle{ h }[/math] יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math].
באותו האופן, [math]\displaystyle{ h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1\lt 0 }[/math] ולכן יש ל-[math]\displaystyle{ h }[/math] שורש בקטע [math]\displaystyle{ (-1,0) }[/math]. כל שורש של h הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.
12 זלצמן) הוכחה:
מכיון ש [math]\displaystyle{ sin(2\cdot 0)=0 }[/math] אז ניתן להגדיר את [math]\displaystyle{ f }[/math] "מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת [math]\displaystyle{ f }[/math]).
[math]\displaystyle{ f(x)= sin(2x) \ \forall x\geq 0 }[/math].
[math]\displaystyle{ f(x)= x\ \forall x\leq 0 }[/math].
[math]\displaystyle{ sin2x }[/math] רציפה ובעלת מחזור [math]\displaystyle{ p=\pi }[/math] ולכן רציפה במ"ש ב[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], ובפרט בקרן החיובית הסגורה [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math].
ידוע ש- [math]\displaystyle{ x }[/math] רציפה במ"ש ב[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], ובפרט בקרן השלילית הסגורה [math]\displaystyle{ (-\infty,0] }[/math].
לכן f רציפה במ"ש ב[math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math] וכמו כן ב[math]\displaystyle{ (-\infty,0] }[/math]. לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת (אפס) ולכן (לפי משפט ממערכי התרגול) [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.
12 קליין) נגדיר פונקצייה h על ידי [math]\displaystyle{ \forall x \in I: h(x)=f(x)-x }[/math].
[math]\displaystyle{ h }[/math] מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math] ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר [math]\displaystyle{ \exists c \in I: h'(c)=0 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0 }[/math], ומכאן ש- [math]\displaystyle{ f'(x)=1 }[/math]. מש"ל.
12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה.
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]