88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/5

חזרה לדוגמאות

• יהיו [math]\displaystyle{ \sum a_n, \sum b_n }[/math] טורים חיוביים כך ש [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \frac{b_{n+1}}{b_n} }[/math].

הוכיחו כי אם [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתכנס אזי גם [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס

הוכחה:

אנו רואים מהנתון שקצב הגדילה של הטור b גדול מזה של a, ואנו יודעים שכפל על ידי קבוע שונה מאפס אינו משנה את התכנסות הטור. לכן נכפול בקבוע כך שהטורים יתחילו שניהם באיבר ששוה לאחד, ונקבל שהטור b גדול מהטור a:

[math]\displaystyle{ \sum \frac{b_n}{b_1} }[/math] מתכנס,

צריך להוכיח כי

[math]\displaystyle{ \sum \frac{a_n}{a_1} }[/math] מתכנס.

אבל קל להוכיח באינדוקציה כי

[math]\displaystyle{ \frac{b_n}{b_1}\geq \frac{a_n}{a_1} }[/math]

אכן,

[math]\displaystyle{ \frac{b_{n+1}}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot\frac{b_n}{b_1}\geq \frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\frac{a_n}{a_1}=\frac{a_{n+1}}{a_1} }[/math]

(את הנחת האינדוקציה קיבלנו בזכות הכפל בקבוע, שכן [math]\displaystyle{ \frac{a_1}{a_1}=\frac{b_1}{b_1} }[/math])

ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון אנו מקבלים את המשל.