88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/3

חזרה לדוגמאות

• [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{\sqrt[n]{(n!)^2}} }[/math]

נשים לב כי לפחות שני שלישים מאיברי המכפלה [math]\displaystyle{ 1\cdot 2\cdot 3 \cdots n }[/math] גדולים מהמספר [math]\displaystyle{ \frac{n}{3} }[/math].

נקטין את כל האיברים במכפלה שגדולים מ[math]\displaystyle{ \frac{n}{3} }[/math], ומכיוון שיש לפחות [math]\displaystyle{ \frac{2}{3}n }[/math] כאלה נקבל ש

[math]\displaystyle{ n!=1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor *(\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor +1)*...*n \geq 1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor*(\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)} }[/math]

(נניח [math]\displaystyle{ n\gt 2 }[/math], קל לבדוק את [math]\displaystyle{ n=1,2 }[/math])

נעלה בריבוע ונקבל ש-

[math]\displaystyle{ (n!)^2\geq (\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}} }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[n]{(n!)^2}}\leq \frac{1}{\sqrt[n]{(\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}}} }[/math]

אבל קל לראות כי הטורים הבאים חברים (לפי מבחן ההשוואה הגבולי)

[math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{\sqrt[n]{(\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}} }[/math] (ידוע כי טור זה מתכנס)

וביחד הטור מתכנס לפי מבחן ההשוואה הראשון.