גבול עליון וגבול תחתון
למדנו על חסמים על מנת לחסום את הקבוצה באופן אידיאלי, כלומר למצוא את "קצות" הקבוצה. היינו רוצים למצוא הגדרה דומה עבור סדרות. השיטה התמימה היא להביט בחסמים של קבוצת איברי הסדרה, אך מהדוגמא הקלה הבאה נראה כי החסמים של קבוצת איברי הסדרה לא אומרים שום דבר על הסדרה:
החסמים הם פלוס מינוס מאה, אך אין קשר בין מספרים אלה להתנהגות הסדרה באינסוף.
הגדרה.
נגדיר
כלומר, אנו לוקחים את החסם העליון של קבוצת איברי הסדרה, אבל כל פעם אנחנו זורקים את האיבר הבא מהסדרה. באופן טבעי, החסם העליון לא יגדל לאחר שנזרוק איבר.
אם כך, סדרת החסמים מונוטונית יורדת ולכן שואפת למספר כלשהו או למינוס אינסוף. אם הסדרה חסומה, לפי תרגיל מתקיים
נגדיר את הגבול העליון של הסדרה להיות
במילים בלתי מדוייקות, הגבול העליון הוא החסם העליון "באינסוף".
באופן דומה, הגבול התחתון הינו גבול החסמים התחתונים של קבוצות איברי הסדרה.
העשרה: סדרה הינה פונקציה מהטבעיים לקבוצה A, כלומר יחס חד ערכי ושלם . אם כך, אנו מגדירים
דוגמאות.
- נביט בסדרה . נבנה את סדרת החסמים :
ולכן הגבול העליון הינו
נביט כעת בסדרת החסמים :
ולכן הגבול התחתון הינו
- נביט בסדרה .
ולכן הגבול העליון הינו
ולכן הגבול התחתון הינו
הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות
משפט. לכל סדרה יש תת סדרה המתכנסת לגבול העליון שלה, ותת סדרה המתכנסת לגבול התחתון שלה.
לכן הגבול העליון הוא מקסימום מקבוצת הגבולות החלקיים, והגבול התחתון הוא מינימום מקבוצת הגבולות החלקיים.
משפט. גבול סדרה שווה L אם"ם הגבול העליון של הסדרה שווה לגבול התחתון של הסדרה שווה ל- L.
תרגיל.
יהיו סדרות כך ש . הוכח/הפרך:
1.
2.
3.
פתרון.
1. הוכחה:
- לפי המשפט קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול העליון
- לפי הנתון
- לתת הסדרה קיימת תת סדרה השואפת לגבול העליון
- כל תת סדרה של סדרה מתכנסת שואפת לגבול הסדרה, ולכן
- מכיוון ש תת סדרה של אזי הגבול שלה הוא גבול חלקי של .
- כלומר, הינו גבול חלקי של .
- הגבול החלקי העליון של סדרה הוא הגבול החלקי הכי גדול שלה, ולכן מתקיים
- כמו כן, כיוון ש , הגבולות מקיימים את אותו היחס:
ביחד אנו מקבלים
2. הפרכה פשוטה:
3. הוכחה:
ידוע מתרגילי הבית כי
לכן, לפי סעיף א',
תרגיל.
תהי סדרה חסומה המקיימת
הוכח כי קבוצת הגבולות החלקיים של שווה ל-
הוכחה.
- נסמן את קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה ב-A.
- כיוון שהגבול החלקי העליון הוא גבול חלקי (לפי משפט) וכך גם לגבי הגבול החלקי התחתון, מתקיים
- כיוון שהגבול החלקי העליון הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, והגבול החלקי התחתון הוא הגבול החלקי הקטן ולכן אם אזי בהכרח .
- נניח בשלילה כי קיימת נקודה שאינה גבול חלקי של הסדרה
- אזי קיימת סביבת אפסילון של c, המוכלת ממש בקטע, בה יש מספר סופי בלבד של איברים מהסדרה
- נזרוק מספר סופי של איברים מהסדרה כך שבסביבת האפסילון של c לא יהיו איברים כלל. הגבולות החלקיים לא ישתנו כמובן.
- כיוון שהגבול החלקי התחתון הוא בפרט גבול חלקי, יש אינסוף איברים בסדרה הקרובים אליו כרצוננו. בפרט יש אינסוף איברים הקטנים מ וכמו כן יש אינסוף איברים הגדולים מ
- כיוון שנתון קיים כך שלכל מתקיים
- ניקח שני איברים האחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני נמצא משמאל. עוד נקבע כי (זה מותר כיוון שיש אינסוף איברים כאלה לפי הטענות הקודמות)
- נוציא מבין זוג עוקב שהאחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני משמאל
- המרחק בין שני איברי הזוג העוקב הזה גדול מ- בסתירה.