אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}f_n }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

ארכיון

ארכיון 1

שאלות

שאלות

היי, (הוספתי שאלה למעלה באחד הדיונים מדוע המונה - Rn(x)- שואף ל0 לאחר גזירות מסוימות..)

ונתנה לכך תשובה, תסתכל בארכיון.

אבל ניתנה תשובה רק לשלב הראשון. הסתבכתי קצת עם הגזירה הראשונה. תוכל בבקשה להראות רק את השלב של הגזירה הראשונה ולהסביר למה עדיין יוצא שהמונה שואף ל0?

תשובה

השארית הינה:

[math]\displaystyle{ f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-f^{(2)}(x_0)/2 (x-x_0)^2 - ... }[/math] ולכן הנגזרת של זה הינה [math]\displaystyle{ f'(x)-f'(x_0) - f^{(2)}(x_0)(x-x_0)-... }[/math]

והטענה דומה

למה בגזירה, כתבת את הנגזרת השניה של x-x0 ולא את הנגזרת השניה של X?

שגיאת דפוס.... תיקנתי.

רגע, אבל זה לא ביטוי מורכב? כלומר, f'(x) כפול ביטוי שהוא x-x0? לא אמור לגזור את זה לפי (u*g)' = u'+g' ?

לא, [math]\displaystyle{ f^{(2)}(x_0) }[/math] הוא קבוע כי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] קבוע!. x הינו משתנה, ואנחנו גוזרים לפיו.

(סליחה על החפירה), לא ממש הצלחתי להבין.. יש לנו את הביטוי f'(x0)*(x-x0), אם f'(x0) הוא קבוע אז למה בגזירה הביטוי הופך לf(2)(x0)? ולמה x-x0 נשאר כמו שהוא?

זה לא מה שקרה. את [math]\displaystyle{ f'(x_0)(x-x_0) }[/math] גזרנו לפי x (זה לא ביטוי קבוע) וקיבלנו [math]\displaystyle{ f'(x_0) }[/math] שזה המקדם של x.

את [math]\displaystyle{ f^{(2)}(x_0)/2 (x-x_0)^2 }[/math] גזרנו לקבל [math]\displaystyle{ f^{(2)}(x_0)(x-x_0) }[/math]

תחשוב, איך היית גוזר את הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=a(x+b)^2 }[/math]?

הבנתי, תודה רבה.

שאלה

יש לי שאלה נוספת. בהגדרה של קמירות כלפי מטה ומעלה, האם מדובר על סביבה מנוקבת של x0? כי בהגדרה אצלנו יש אי שיוויון ממש של h(x)>f(x) או h(x)<f(X), כלומר לא כוללים את x0 בסביבה, נכון? (אחרת זה לא היה גדול ממש או קטן ממש, אלא גדול שווה/קטן שווה.)

אני חושב שאתה צודק. המטרה של האי שיוויון היא שנקודה בפונקציה קבועה לא תהיה נקודת פיתול (אבל היא כן נקודת קיצון)

תרגיל 2 - שאלה 3a

האם מותר לי להגדיר פונקצייה חדשה שהיא ההפרש בין שתי הפונקציות, ולפתח אותה לפי טיילור סביב הנק' x0, ואז להראות שאני יכול לבחור כל x שגדול מ-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] כדי לקבל שערך הפונקצייה החדשה חיובי תמיד (ומכאן להסיק שאחת מהפונקציות גדולה מהשנייה)? כלומר, שלכל [math]\displaystyle{ x\gt x_0 }[/math] שאני אבחר קיים c מתאים שעבורו זה מתקיים, לכן זה מתקיים לכל x כזה. האם מותר לי לומר את זה?

לא מבין את מטרת השאלה.

האם הרעיון לפתרון התרגיל, ואופן הביצוע שלו נכון (כפי שתיארתי כאן)? כי שמעתי מהרבה שהם עשו את התרגיל בדרך שונה לגמרי.

כל דרך שאכן מוכיחה היא טובה, על מנת לדעת אם התשובה היא טובה יש בדיקת תרגילים ופרסום פתרונות. בגדול מה שרשמת זה אכן נכון, כמובן נדרש פירוט מדוייק...

תודה רבה :) !!

שאלה - o, גבולות

1. הביטוי [math]\displaystyle{ o(f(x)) }[/math] כש-x שואף לערך מסוים בעצם מסמל ביטוי שזניח ביחס ל-[math]\displaystyle{ f(x) }[/math], במילים אחרות, נכון?

2. נניח שיש לי ביטוי שעבור x ששואף לערך מסוים הוא [math]\displaystyle{ o(\frac{1}{x^3}) }[/math] , ואני כופל אותו ב-[math]\displaystyle{ x }[/math], האם הוא הופך להיות [math]\displaystyle{ o(\frac{1}{x^2}) }[/math] ?

תשובה

1. כן

2. קל לבדוק לפי ההגדרה. נניח f הינה [math]\displaystyle{ o(\frac{1}{x^3}) }[/math]. ולכן לפי הגדרה:

[math]\displaystyle{ 0=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{\frac{1}{x^3}}=\lim_{x\rightarrow x_0}x^3f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{xf(x)}{\frac{1}{x^2}} }[/math]

ולכן הטענה נכונה.

שאלה בתרגיל 3 1

האם שטח מינימלי יכול להיות 0? זאת אומרת שהמשולש יהיה בעצם נקודה.

תשובה

האם נקודה עונה על הגדרת השאלה? משולש הנבנה מחיתוך הצירים עם קו ישר העובר דרך הנקודה (1,2). כמובן שלא מדובר על הקו שנמתח בין הנקודה (1,2) לראשית הצירים...

שאלה- חקירת פונקציה

היי ארז, לגבי נקודות פיתול ותחומי קעירות: הנקודות שחשודות בתור נקודות פיתול הן הנקודות בהן הנגזרת השנייה מתאפסת/לא קיימת, נכון? אז נני מצאתי את הנקודות החשודות. איך אני מוודא שהן נקודות פיתול באמת? ראינו בתרגול שלא מספיק לבדוק אם הפונקציה אכן משנה את הקמירות שלה בנקודות האלה, כי יכול להיות שהפונקציה תשנה את הקמירות שלה בנקודות שאינן נקודות פיתול. אז איך בעצם בודקים שאלו אכן נקודות פיתול?

תשובה

אמרנו שחייב להיות קיים משיק (כלומר נגזרת ראשונה) בנקודה על מנת שהיא תהייה פיתול. אם היה משיק והפונקציה הייתה מחליפה קמירות (כלומר הנגזרת השנייה כולה חיובית בצד אחד, ושלילית בצד שני) אזי זו נקודת פיתול.

זאת אומרת, אם הפונקציה גזירה פעם אחת בנקודה מסוימת, והנגזרת השנייה מחליפה סימן בנקודה הזאת, אז מדובר בנקודת פיתול, לא משנה אם הנגזרת השנייה קיימת או לא קיימת בנקודה. אנחנו בודקים באילו נקודות הנגזרת השנייה מתאפסת כדי שלא נצטרך לבדוק נקודות שכלל אינן רלוונטיות עבורינו. האם הבנתי נכון?

קודם כל אני אסייג ואומר שהנחתי שהנגזרת השנייה מוגדרת בסביבה מנוקבת של הנקודה (הרי אמרתי שהיא חיובית או שלילית בצדדים, כלומר בסביבה ימנית או שמאלית). במקרים אחרים צריך לבדוק ממש אם הפונקציה נמצאת מעל או מתחת למשיק לפי הגדרת נקודת הפיתול.

ובקשר לשאלה שלך, התשובה היא כן. נקודות בהן הנגזרת השנייה לא מתאפסת הן נקודות בהן בשתי הסביבות של הנקודה הסימן של הנגזרת השנייה הוא זהה, ולכן הקמירות לא מתחלפת.

הבנתי, תודה. ולגבי תחומי קמירות: בתיכון היינו נוהגים להציב בנגזרת השנייה ערכים בין כל שתי נקודות פיתול, ובהתאם לסימן של הנגזרת בערך שבחרנו היינו קובעים את הקמירות באותו תחום בין שתי נקודות הפיתול. אבל לאור המידע החדש, שקמירות של פונקציה עשויה להשתנות גם בנקודה שאינה נקודת פיתול, האם נכון לאמר שהשיטה הזאת ממש לא בטוחה? האם נכון לאמר שהדרך היחידה לקבוע תחומי קמירות זה לפתור את אי השוויונים [math]\displaystyle{ f''(x)\gt ,\lt 0 }[/math]?

נכון. זה בגלל שבתיכון פחות התעסקתם עם נקודות אי רציפות כמו פה..

ואיך נקבע קמירות של פונקציה בנקודות בהן היא אינה גזירה פעמיים?

בנקודה עצמה? קמירות היא בקטע, לא בנקודה, מוצאים את הקמירות בין הנקודות

בהרצאה הגדרנו קמירות בנקודה. אומרים שפונקציה קמרה כלפי מעלה (מטה) בקטע אם היא קמורה כלפי מעלה (מטה) בכל נקודה בקטע. בכל מקרה, איך עושים זאת אם הפונקציה לא גזירה פעמיים איפה שאנחנו רוצים לבדוק?

אני לא יודע איך אפשר להגדיר קמירות בנקודה, אפשר להגדיר קמירות בסביבה של נקודה. תחזור על ההגדרות שוב, ותחשב את הקמירות לפי ההגדרה.

מגדירים כך: בהנתן פונקקציה גזירה בנקודה x0, נאמר שהפונקציה קעורה כלפי מעלה בנקודה אם קיימת סביבה של הנקודה בה המשיק בנקודה מתחת לגרף. עכשיו בוא נתעלם לרגע מההגדרה. איך בודקים באופן פרקטי קמירות של פונקציה בנקודה/קטע בהן היא לא גזירה פעמיים?

שאלה - פונקציית הערך המוחלט

1. האם הנגזרת של |x| היאsign(x)

2. האם sign(0)=0 ?

תשובה

האם זה נסיון שלך להוכיח שערך מוחלט של x גזירה באפס כאשר זו הדוגמא הראשונה לפונקציה רציפה שאינה גזירה באפס.

סעיף אחד נכון פרט לנקודה אפס. במילים פשוטות הנגזרת של [math]\displaystyle{ |x| }[/math] הינה 1 כאשר x>0 ומינוס אחד כאשר x<0 ולא מוגדרת באפס.

תרגיל 3 שאלה 3

באם אני יכול להשתמש בערכים של arctan אחרים מאלו שאני מחשב עם הנתון על sin וcos? כאילו להשתמש במחשבון לחשב ערך של arctan בנקודה מסוימת?

תשובה

אסור להשתמש במחשבון. אבל אפשר להשתמש בדברים ידועים כמו sin0=0