שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/רציפות במ"ש

שאלה 1

"סכום וכפל בקבוע של רציפות במ"ש - רציף במ"ש"

יש לציין שנובע מזה שגם חיסור של רציפות במ"ש רציף במ"ש (כי זה כמו לכפול פונקציה אחת בקבוע 1- ואז לחבר ביניהן), לא ?

אני לא חושב שיש צורך לציין, זה נכון. --ארז שיינר

שאלה לגבי הפתרון של תרגיל 1 בדוגמאות

• [math]\displaystyle{ f(x)=xsinx }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]

פתרון. הפונקציה אינה רציפה במ"ש, נבנה שתי סדרות:

[math]\displaystyle{ x_n=\frac{1}{n}+2\pi n }[/math]

[math]\displaystyle{ y_n=2\pi n }[/math]

מתקיים

[math]\displaystyle{ x_n-y_n=\frac{1}{n}\rightarrow 0 }[/math]

אבל

[math]\displaystyle{ f(x_n)-f(y_n)=(\frac{1}{n}+2\pi n)sin\Big(\frac{1}{n}+2\pi n\Big)\rightarrow 2\pi }[/math]

שכן

[math]\displaystyle{ nsin\Big(\frac{1}{n}\Big)=\frac{sin\Big(\frac{1}{n}\Big)}{\frac{1}{n}}\rightarrow 1 }[/math]

איך הגענו לגבול הזה ([math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]) ? למרות השורה "שכן.." זה לא ברור.

[math]\displaystyle{ (\frac{1}{n}+2\pi n)sin\Big(\frac{1}{n}+2\pi n\Big)\rightarrow 2\pi=\frac{1}{n}sin(\frac{1}{n})+2\pi\Big[nsin(\frac{1}{n})\Big] }[/math]

המחובר הראשון הוא שואפת לאפס כפול חסומה, וה[math]\displaystyle{ 2\pi n }[/math] בתוך הסינוס התבטל כי זו המחזוריות של הסינוס. --ארז שיינר