מבוא

משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המקשרת בין משתנה בלתי תלוי [math]\displaystyle{ x }[/math] לבין משתנה תלוי [math]\displaystyle{ y }[/math]. בניגוד למצב הנפוץ בו הפתרון של משוואה הוא נקודה, במד״ר הפתרון הוא פונקציה.

הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית רגילה היא [math]\displaystyle{ F\Big(x,y(x),y'(x),\dots,y^{(n)}(x)\Big)=0 }[/math] ([math]\displaystyle{ F }[/math] פונקציה ב־[math]\displaystyle{ n+2 }[/math] משתנים). הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית חלקית היא [math]\displaystyle{ F\left(x,y,z(x,y),\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\right)=0 }[/math].

הגדרות: הסדר של מד״ר הוא דרגת הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה. המעלה היא החזקה של הנגזרת הגבוהה ביותר. דוגמאות:

[math]\displaystyle{ 2xy'-3y=0 }[/math]: הסדר הוא 1 והמעלה – 1.
[math]\displaystyle{ 2x^3y\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2-(1+x^3)=0 }[/math]: הסדר הוא 1 והמעלה – 2.
[math]\displaystyle{ 2y''+2x^2y=0 }[/math]: הסדר הוא 2 והמעלה – 1.
[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d^3y}{\mathrm dx^3}+x^2\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}-x^3\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^3=0 }[/math]: הסדר הוא 3 והמעלה – 1.

קיימות מד״ר שאנו כבר יודעים לפתור. למשל:

אם [math]\displaystyle{ y'={\mathrm e}^{2x} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ y=\int {\mathrm e}^{2x}\mathrm dx=\frac{{\mathrm e}^{2x}}2+c }[/math].
[math]\displaystyle{ \begin{align}&(y')^2+xy'+3=0\\\implies&y'=\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\\\implies&y=\int\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\mathrm dx=\dots\end{align} }[/math]

נשים לב שיש אינסוף פתרונות.

לא תמיד קל לפתור מד״ר: בהינתן [math]\displaystyle{ y'={\mathrm e}^{-x^2} }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ y=\int {\mathrm e}^{-x^2}\mathrm dx }[/math], והפתרון אינו אלמנטרי. למרות זאת, זה פתרון מפורט מספיק לצרכינו. נעיר שקיימת פוקנציה [math]\displaystyle{ \mbox{erf} }[/math] שעבורה [math]\displaystyle{ y=\frac\sqrt\pi2\mbox{erf}(x)+c }[/math].

הגדרה: צורה נורמלית של מד״ר היא [math]\displaystyle{ y^{(n)}=f(x,y,y',\dots,y^{(n-1}) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ n }[/math] סדר המשוואה. לפעמים קשה להגיע לצורה זו: לדוגמה, [math]\displaystyle{ y={\mathrm e}^{y'}+y'-x=0 }[/math].

תהי [math]\displaystyle{ F(x,z_0,z_1,\dots,z_n) }[/math] פונקציה לינארית במשתנים [math]\displaystyle{ z_0,\dots,z_n }[/math]. אזי המד״ר המתאימה תקרא לינארית. לדוגמה: [math]\displaystyle{ \sin(x)y''+x^2y'+3y-{\mathrm e}^{x^2}=0 }[/math]. מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך: [math]\displaystyle{ y^{(n)}=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(x)y^{(i)}+f(x) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ f(x)\equiv0 }[/math] אזי המד״ר נקראת "לינארית הומוגנית". דוגמה: [math]\displaystyle{ (y')^2+x^2+2=0 }[/math].

הגדרה: פתרון של מד״ר הוא פונקציה [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math] כך שבהצבת [math]\displaystyle{ y=\varphi(x) }[/math] המד״ר הופכת לזהות [math]\displaystyle{ F(x,\varphi(x),\varphi'(x),\dots,\varphi^{(n)}(x))\equiv0 }[/math]. דוגמה: [math]\displaystyle{ y=\varphi(x)=x^2 }[/math] היא פתרון של [math]\displaystyle{ xy'-2y=0 }[/math] מפני שבהצבה [math]\displaystyle{ y=\varphi(x) }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ x(2x)-2x^2=0 }[/math], מה שמתקיים תמיד.

הגדרה: פתרון כללי של מד״ר הוא משפחת פונקציות [math]\displaystyle{ y=\varphi(x,c_1,\dots,c_n) }[/math] התלויות ב־[math]\displaystyle{ n }[/math] פרמטרים וגזירות [math]\displaystyle{ n }[/math] פעמים לפי x. דוגמה:

[math]\displaystyle{ \begin{align}&y''=x+1\\\implies&y'=\frac{x^2}2+x+c_1\\\implies&y=\frac{x^3}6+\frac{x^2}2+c_1x+c_2\end{align} }[/math]

מד״ר מסדר ראשון

הגדרה: מד״ר מסדר ראשון היא מד״ר מהצורה [math]\displaystyle{ F(x,y,y')=0 }[/math]. באופן שקול, הצורה הנורמלית שלה היא [math]\displaystyle{ y'=f(x,y) }[/math]. דוגמאות:

[math]\displaystyle{ xy'=x+y }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{align}&y'=\frac yx\end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ xy'=x+y, y'=\frac yx,y'+x^2y=0 }[/math]. לגבי המשוואה האחרונה: [math]\displaystyle{ y'\mathrm dx+x^2y\mathrm dx=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \mathrm dy+x^2y\mathrm dx=0 }[/math]. זו הצורה הדיפרנציאלית. לגבי המשוואה השנייה: [math]\displaystyle{ \mathrm dy=\frac yx\mathrm dx }[/math].

בעיית קושי

למצוא פתרון למד״ר [math]\displaystyle{ y'=f(x,y) }[/math] המקיים תנאי התחלה [math]\displaystyle{ y|_{x=x_0}=\varphi(x_0)=y_0 }[/math].

פתרון רגולרי וסינגולרי: בהנתן פתרון כללי של מד״ר [math]\displaystyle{ y=\varphi(x,c) }[/math], פתרון המתקבל ע״י הצבת [math]\displaystyle{ c=c_0 }[/math] מסוים נקרא פתרון פרטי, רגולרי או רגיל. פתרון שאינו מתקבל מ־c מסוים נקרא פתרון סינגולרי או מיוחד. דוגמה: [math]\displaystyle{ (y')^2=4y }[/math]. הפתרון הכללי הוא [math]\displaystyle{ y=(x+c)^2 }[/math] לכל c. לדוגמה [math]\displaystyle{ y=(x+3)^2 }[/math] הוא פתרון רגולרי, ו־[math]\displaystyle{ y=0 }[/math] פתרון סינגולרי.

משפט

נציג גרסה לא כ״כ פורמלית למשפט הקיום והיחידות. את הגרסה המדוייקת ואת ההוכחה נציג בשיעור הבא. בהינתן מד״ר בצורה נורמלית [math]\displaystyle{ y'=f(x,y) }[/math]. אם הפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] מקיימת את תנאי ליפשיץ במשנתנה [math]\displaystyle{ y }[/math] בסביבה מסויימת של הנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] אזי קיימת סביבה שלה [math]\displaystyle{ D }[/math] שבה המד״ר פתרון אחד ויחיד העובר ב־[math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] (כלומר מקיים [math]\displaystyle{ y(x_0)=y_0 }[/math]).

תזכורת: [math]\displaystyle{ f }[/math] מקיימת את תנאי ליפשיץ אם [math]\displaystyle{ \exists k:\ |f(x_1)-f(x_2)|\le k|x_1-x_0| }[/math].

מד״ר עם משתנים מופרדים

דוגמה: [math]\displaystyle{ 2xy+y'=0 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ y\ne0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \frac{y'}y=-2x }[/math]. מכאן ש־[math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dy}y=-\int2x\mathrm dx }[/math] ולפיכך [math]\displaystyle{ \ln|y|=-x^2+c_1 }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ c_2={\mathrm e}^{c_1} }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ |y|=c_2{\mathrm e}^{-x^2}, c_2\gt 0 }[/math] ולפיכך (עבור [math]\displaystyle{ c=c_2\sgn(y) }[/math]) [math]\displaystyle{ y=c{\mathrm e}^{-x^2}, c\ne0 }[/math]. נשים לב שבפתרון התעלמנו מהמקרה [math]\displaystyle{ y=0 }[/math] ולבסוף הפתרון הסופי הוא [math]\displaystyle{ y=c{\mathrm e}^{-x^2}, c\in\mathbb R }[/math]. מקרה כללי: אם [math]\displaystyle{ y'=f(x)g(y) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dy}{g(y)}=\int f(x)\mathrm dx }[/math].

הצורה הכללית של מד״ר עם משתנים מופרדים בכתיב דיפרנציאלי: [math]\displaystyle{ M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ N_1(y_0)=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] כלשהו אזי [math]\displaystyle{ y(x)=y_0 }[/math] פותר את המד״ר. אם [math]\displaystyle{ M_2(x_0)=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] כלשהו אזי [math]\displaystyle{ x(y)=x_0 }[/math] פתרון (במובן כלשהו). אם [math]\displaystyle{ N_1(y)M_2(x)\ne0 }[/math] נחלק בהם ונקבל [math]\displaystyle{ \int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=c }[/math]. דוגמה: [math]\displaystyle{ x^2y^2y'=y-1 }[/math]. בכתיב דיפרנציאלי [math]\displaystyle{ x^2y^2\mathrm dy+(1-y)\mathrm dx=0 }[/math] פתרונות: [math]\displaystyle{ y=1\ \or\ x=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm dx}{x^2}+\frac{y^2}{1-y}\mathrm dy=0 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \int\frac{(y-1)(y+1)+1}{y-1}\mathrm dy=\frac{y^2}2+y+\ln|y-1|+c=-\frac1x+c }[/math]. לא נצליח לחלץ את [math]\displaystyle{ y }[/math], אבל נוכל לחלץ את [math]\displaystyle{ x }[/math]: [math]\displaystyle{ x=\frac1{c-y^2-y-\ln|y-1|} }[/math].

מד״ר פתורות ע״י הפרדת משתנים

[math]\displaystyle{ y'=f(ax+by) }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ z=ax+by }[/math], לכן [math]\displaystyle{ z'=a+by' }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ f(z)=y'=\frac{z'-a}b }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \int\frac{z'}{bf(z)+a}\mathrm dx=x+c }[/math]. נסמן את אגף שמאל כ־[math]\displaystyle{ g(z) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ g(ax+by)=x+C }[/math] ואם [math]\displaystyle{ g }[/math] הפיכה אזי [math]\displaystyle{ y=\frac{g^{-1}(x+c)-ax}b }[/math].

דוגמה: [math]\displaystyle{ y'=\frac{1-x+y}{x-y} }[/math]. אזי עבור [math]\displaystyle{ z=x-y }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ z'=\frac{2z-1}z }[/math]. לפיכך [math]\displaystyle{ \int\frac{zz'}{2z-1}\mathrm dx=\int\left(\frac12+\frac12\frac1{2z-1}\right)\mathrm dx=1 }[/math]. מכאן ש־[math]\displaystyle{ \frac z2+\frac14\ln\left|z-\frac12\right|=x+c }[/math] ולבסוף: [math]\displaystyle{ \frac{x-y}2+\frac14\ln\left|x-y-\frac12\right|=x+c }[/math].

מד״ר הומוגנית

פונקציה [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] נקראת הומוגנית מסדר [math]\displaystyle{ k }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ \lambda\gt 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y) }[/math].

דוגמאות:

[math]\displaystyle{ f(x,y)=\frac{x-y}{x+y} }[/math] הומוגנית מסדר 0.
[math]\displaystyle{ f(x,y)=x^2+3y^2+8xy }[/math] הומוגנית מסדר 2.

משפט

פונקציה [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] ניתנת לכתיבה בצורה [math]\displaystyle{ f(x,y)=\varphi\left(\frac yx\right) }[/math] אם״ם היא הומוגנית מסדר 0.

הוכחה

[math]\displaystyle{ \Longleftarrow }[/math]: טריוויאלי. [math]\displaystyle{ \implies }[/math]: נתון [math]\displaystyle{ f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y) }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ \lambda=\frac1x }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math]) ולכן [math]\displaystyle{ f(\lambda x,\lambda y)=\underbrace{f\left(1,\frac yx\right)}_{\varphi\left(\frac yx\right)}=f(x,y) }[/math]. במקרה [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math] נציב [math]\displaystyle{ \lambda=-\frac1x }[/math].

הגדרה: אם ניתן לכתוב את המד״ר בצורה [math]\displaystyle{ y'=g\left(\frac yx\right) }[/math] אזי היא נקראת הומוגנית.

דוגמה: [math]\displaystyle{ z(x)=\frac yx }[/math] לכן [math]\displaystyle{ y=zx\implies g(z)=y'=z'x+z }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dz}{g(z)-z}=\int\frac{\mathrm dx}x }[/math] ולפיכך, עבור [math]\displaystyle{ h(z) }[/math] המוגדרת כאגף שמאל, [math]\displaystyle{ h\left(\frac yx\right)=\ln|x|+c }[/math] ואז [math]\displaystyle{ y=xh^{-1}(\ln|x|+c) }[/math] אם [math]\displaystyle{ h }[/math] הפיכה.

דוגמה: [math]\displaystyle{ xy'=x+y }[/math]. אם [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ y'=1+\frac yx=1+z }[/math] ואז [math]\displaystyle{ z'x=1 }[/math]. לבסוף [math]\displaystyle{ y=x\ln|x|+xc_1 }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ c={\mathrm e}^{c_1} }[/math] ולפיכך [math]\displaystyle{ y=x\ln(cx) }[/math]. נתונים תנאי ההתחלה [math]\displaystyle{ y(3)=8 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ c=\frac13 {\mathrm e}^{8/3} }[/math].